Creixement i decreixement
Les funcions poden ser creixents o decreixents al llarg del seu domini o en un cert interval.
Diem que una funció $$f(x)$$ és creixent en l'interval $$[a,b]$$ si donats dos punts de $$[a,b]$$, $$x_1$$ i $$x_2$$ tal que $$x_1 < x_2$$ aleshores $$f(x_1) \leqslant f(x_2)$$.
Diem que una funció $$f(x)$$ és decreixent en l'interval $$[a,b]$$ si donats dos punts de $$[a,b]$$, $$x_1$$ i $$x_2$$ tal que $$x_1 < x_2$$ aleshores $$f(x_1) \geqslant f(x_2)$$.
Les funcions que mai decreixen, sempre augmenten el seu valor o es mantenen (les funcions creixents).
Anàlogament, les funcions decreixents mai creixen, sempre disminueixen el seu valor o es mantenen quan $$x$$ es fa gran.
D'altra banda, podem definir funcions estrictament creixents o decreixents: aquestes mai es mantindran en un mateix valor: o augmenten o disminueixen.
Diem que una funció $$f(x)$$ és estrictament creixent en l'interval $$[a,b]$$ si donats dos punts de $$[a,b]$$, $$x_1$$ i $$x_2$$ tal que $$x_1 < x_2$$ aleshores $$f(x_1) < f(x_2)$$. Diem que una funció $$f(x)$$ és estrictament decreixent en l'interval $$[a,b]$$ si donats dos punts de $$[a,b]$$, $$x_1$$ i $$x_2$$ tal que $$x_1 < x_2$$ aleshores $$f(x_1) > f(x_2)$$.
A continuació podem veure uns exemples:
Totes les funcions del tipus $$f(x)=ax+b$$ quan $$a>0$$ són funcions creixents, i en particular, són funcions estrictament creixents. No obstant això, quan prenguem $$a < 0$$ obtindrem funcions estrictament decreixents (i per tant decreixents).
La funció $$f(x)=x^2$$ és una funció decreixent en l'interval $$(-\infty,0]$$ i creixent en $$[0,+\infty)$$.
Les funcions constants són funcions que alhora són creixents i decreixents (es mantenen constants).
Màxims i mínims
Quan representem una funció podem veure que de vegades apareixen punts que són màxims o mínims relatius o globals.
Com podem veure en el següent exemple, podem observar que en $$x=0$$ la funció $$f(x)=x^2$$ té un mínim:
Definim doncs correctament el concepte de mínim i màxim relatiu i global:
- Un punt $$x_0$$ s'anomena màxim global si per a tot punt $$x$$ del domini, la funció compleix $$f(x)\leqslant f(x_0)$$.
- Un punt $$x_0$$ s'anomena mínim global si per a tot punt $$x$$ del domini, la funció compleix $$f(x)\geqslant f(x_0)$$.
- Un punt $$x_0$$ s'anomena màxim relatiu si per a tot punt $$x$$ d'un entorn de $$x_0$$ $$\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$$ (on $$\varepsilon$$ és un valor petit), la funció compleix $$f(x)\leqslant f(x_0)$$.
- Un punt $$x_0$$ s'anomena mínim relatiu si per a tot punt $$x$$ dd'un entorn de $$x_0$$ $$\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$$ (on $$\varepsilon$$ és un valor petit), la funció compleix $$f(x)\geqslant f(x_0)$$.
Per entendre millor cada concepte vegem un exemple de cada:
La funció $$f(x)=x^2$$ presenta un mínim global en el punt $$x=0$$ (veure exemple previ a les definicions).
La funció $$f(x)=-(x-1)^2$$ presenta un màxim global en el punt $$x=1$$:
La funció $$f(x)=x^3-3x$$ presenta un màxim relatiu en $$x=-1$$ i un mínim relatiu en $$x=1$$:
La funció $$f(x)=x^4-x^3-2x^2$$ presenta un mínim global en l'interval $$[-2, -1]$$, té un màxim relatiu en $$x=0$$ i un mínim relatiu en l'interval $$(0,1)$$:
Localització de màxims i mínims
Anem a veure com trobar màxims i mínims relatius.
Per això considerem una funció $$f(x)$$ contínua i derivable en un domini obert.
Si ens fixem en les gràfiques anteriors, els punts màxims i mínims relatius tenen com a recta tangent una recta de pendent zero. Aquesta serà la clau per trobar màxims i mínims.
El procediment serà derivar la funció $$f(x)$$ i igualar a zero. Resolent l'equació que apareix trobarem els punts $$x$$ que seran màxims o mínims en la nostra funció.
El següent pas serà saber si són màxims o mínims. Això es pot deduir del valor que prengui la segona derivada de la funció en el punt en qüestió: si és positiu, serà mínim, i si és negatiu, serà màxim.
Per entendre bé el procés, vegem un exemple.
Prenguem la funció $$f(x)=x^3-3x$$.
Començarem derivant la funció i igualant a zero. Resoldrem l'equació i ens quedarem amb els punts solució. $$$f'(x)=3x^2-3 \Rightarrow 3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$$
Ara sabem que en els punts $$1$$ i $$-1$$ tenim màxims o mínims. Anem a veure què són usant la segona derivada: $$f''(x)=6x$$:
$$f''(1)=6 > 0$$
$$f''(-1)=-6 < 0$$
i per tant en $$x =- 1$$ tenim un màxim i en $$x = 1$$ tenim un mínim.
Vegem la gràfica per veure clarament l'exemple: