Vectores

El vector era un concepto que ya se manejaba en los tiempos de Arquímedes. Sin embargo, no alcanzó una identidad matemática hasta principios del siglo XX y fue gracias a los físicos e ingenieros, que vieron en él una herramienta imprescindible.

El concepto de vector no es en sí mismo nada sofisticado y responde a una lógica natural. Cualquiera sabe apreciar la diferencia que hay entre ocho kilómetros en dirección horizontal, una distancia que normalmente se puede hacer andando, y los mismos kilómetros en dirección vertical, que, según el sentido, nos puede situar en las cumbres más inaccesibles de la Tierra o en las grandes simas oceánicas. Se comprende pues que la necesidad de caracterizar a algunas magnitudes escalares como vectores viene ya de muy antiguo. Vamos a ilustrar con un ejemplo el significado de dos palabras que acabamos de utilizar: dirección y sentido.

Supongamos que un grupo de amigos ha llegado en barco a una isla. Uno de ellos decide hacer una excursión y se pierde (punto rojo). Pide ayuda por teléfono, sus amigos le localizan y le dan las siguientes instrucciones: “Te hemos localizado. Si caminas a una velocidad de cinco kilómetros por hora, antes de tres horas nos habrás encontrado”. El amigo perdido monta en cólera, vuelve a llamar y pide la dirección en la que debe caminar. Se la dan:

Pero se da cuenta de que con esto todavía no tiene suficiente, ya que puede elegir entre dos opciones. Por fin le proporcionan los datos completos para que sepa el sentido en el que tiene que caminar y el problema se resuelve:

Nuestro amigo necesitaba conocer no sólo la velocidad, sino el vector velocidad.
Escalares y vectores

Un escalar es una magnitud que queda completamente determinada dando un número, una cantidad expresada en unas medidas determinadas, como 3 kg, 40 m, 2.000 €, etc. En cambio, para dar los datos completos de un vector es necesario, además del escalar que recibe el nombre de módulo del vector, proporcionar también la dirección y sentido del mismo.

Es importante recalcar bien la diferencia que hay entre dirección y sentido.

Los dos vectores A y B tienen la misma dirección, pero diferente sentido. La aclaración es pertinente porque en lenguaje coloquial hacemos referencia a una calle de dirección única o dirección prohibida. En el sentido en que estamos hablando aquí cualquier calle es de dirección única, no podría ser de otra forma. Y una calle de dirección prohibida es una calle por la que no se podría circular. En rigor habría que decir una calle de sentido único.

Habitualmente un vector se simboliza mediante una letra y una flecha encima  . Según la tipografía que se utilice hay otras formas de hacerlo (por ejemplo, A representa una magnitud escalar y A su correspondiente magnitud vectorial). A pesar de que el módulo del vector queda claramente especificado cuando se pone , en muchos casos se sobrentiende que A es el módulo del vector , que también recibe el nombre de parte escalar. Gráficamente se representa mediante una flecha, cuya longitud debería ajustarse más o menos al módulo del vector. La punta de la flecha indica el sentido del vector y la recta sobre la que se apoya la dirección. A esta recta se la llama recta soporte. Podemos imaginar al vector deslizándose a lo largo de ella, o a lo largo de cualquier recta paralela. Por ejemplo, a estos dos vectores se les considera iguales.

O sea que dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo dirección y sentido, aunque ocupen posiciones diferentes en el espacio. En algunos textos se les denomina equipolentes, que quizás es un término más adecuado, ya que los dos vectores no se puede decir que sean iguales en el sentido de una identidad, aunque sí son equivalentes por la forma en como se han definido.

Suma de vectores

La necesidad de sumar vectores surge con frecuencia. Por ejemplo, en el momento en que consideramos un cuerpo sometido a dos fuerzas y queremos saber cual es el resultado de esa acción. Se denomina resultante al vector que se obtiene como suma de otros dos siguiendo el siguiente proceso:

Se sitúan los vectores OA y OB en un mismo origen. Se trazan sendas paralelas AC y BC a dichos vectores, de manera que construyamos un paralelogramo. La resultante o suma de estos dos vectores es la diagonal OC del paralelogramo.

A este método se le conoce como la regla del paralelogramo. Ya era conocido por Arquímedes y fue enunciado de forma explícita por Galileo para la resolución de problemas concretos de mecánica. Es un método que permite sumar varios vectores, ya que se cumple la propiedad asociativa de la suma. También se pueden restar, sin más que considerar el vector opuesto a uno dado y sumarlo con el anterior. Incluso se trata de una operación conmutativa: .  Sin embargo, es un método puramente geométrico y para poder dar a los vectores un tratamiento algebraico se requiere poder manejarlos como números. Resolver esta cuestión significaba encontrar una clase especial de números capaces de representar vectores, pero no sólo en cuanto a su módulo, sino de una forma integral. Los únicos números de que se disponía para hacer algo así eran los números complejos que, aunque para entonces ya tenían una identidad matemática bien definida, seguían arrastrando el incómodo número imaginario, representado por la letra i, símbolo de .
Los números complejos

Un número complejo, representado en forma binómica, viene dado por una expresión como a + bi. Por ejemplo, 3 + 2i. Se trata de un número bien definido, pero el signo + en la expresión no es más que un símbolo y en ningún caso puede representar la suma de dos números. Por ejemplo, el mismo número complejo se podría haber representado de la forma:

3 @ 2i

Consciente de este hecho, W. R. Hamilton (1805-1865) dio un sencillo pero importante paso adelante al representar dicho número de la forma (3, 2), estableciendo, por primera vez, la idea de lo que era un par ordenado. La suma de números complejos se podía llevar a cabo de forma muy simple: componente a componente. Por ejemplo:

(1 + i) + (5 -3i) = 6 – 2i es lo mismo que hacer (1, 1) + (5, -3) = (6, -2)

Por otro lado, Gauss, Argand y Wessel habían dado una representación geométrica de los números complejos que ahora, con esta nueva visión, permitía una interpretación vectorial. En un plano cartesiano, en el que se ha definido unos ejes perpendiculares y un origen, el número complejo (2, 1) puede interpretarse como el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y el extremo el punto (2, 1):

Hasta aquí, las cosas iban de maravilla, porque la suma de pares ordenados respondía a la perfección a la regla del paralelogramo. Los vectores podían ser asociados a una clase de números para los que se habían definido unas operaciones de suma y producto que cumplían razonablemente las propiedades que se esperan de ellas, como la asociatividad, conmutatividad, etc.

El paso siguiente era algo más peliagudo. Los físicos trabajaban con fuerzas que podían actuar sobre un cuerpo en todas direcciones y que no tenían porque estar todas situadas en un mismo plano. Los números complejos se quedaban cortos y se hacía necesario encontrar su equivalente en tres dimensiones. El protagonista de tan ardua tarea volvió a ser Hamilton.

Los cuaterniones

La historia de los cuaterniones, que a Hamilton le llevó varios años de intensas búsquedas, da para una novela de tamaño medio. Gran parte de sus vicisitudes se debieron a que la comunidad matemática estaba aferrada a una idea fija, casi un prejuicio. Según la tradición, cuando se empezaba a operar con cualquier clase de números, ya se llamaran enteros, racionales, reales o cuaterniones, se debían cumplir propiedades tan ortodoxas como la asociatividad o la conmutatividad, algo que Hamilton no conseguía con sus nuevos números. Después de muchos años de pelear con los cuaterniones, tomó dos decisiones audaces. La primera es que sus nuevos números no iban a cumplir la propiedad conmutativa (con lo cual se quitó un enorme peso de encima), y la segunda es que, contra todo pronóstico, sus números “espaciales” no iban a tener tres, sino cuatro componentes (de aquí el nombre de cuaterniones).

Brevemente, decir que un cuaternión es un número que tiene esta forma:

2 + 3i + 4j + 7k

Donde el número 2 correspondería a la parte escalar y 3, 4, 7 a las componentes en las tres direcciones del espacio. La importancia que llegaron a alcanzar estos números en el Álgebra fue enorme, entre otras cosas porque liberaron de muchos prejuicios a los matemáticos en relación a qué cosa debían ser o no números y qué propiedades debían poseer. William Thomson (1824-1907), más conocido como Lord Kelvin, matemático y uno de los físicos más importantes del siglo XIX, afirmó en una ocasión que “el vector no es más que un superviviente inútil, una derivación de los cuaterniones que nunca ha sido de la menor utilidad”. Sin embargo, en un primer momento los físicos no hicieron demasiado caso del hallazgo, debido a que los cuaterniones no les resultaban demasiado útiles para resolver sus problemas más apremiantes. Y en gran parte, esto era debido a que los matemáticos seguían aferrados a la idea de aplicar a los vectores el mismo formalismo de los números.

Grassmann

Sin restar mérito a nadie, se puede decir que en el tema de los vectores, H. G. Grassmann fue quien dio en el clavo. No en vano se le considera como el fundador del Cálculo Vectorial. La idea puede parecernos ahora simple, pero en aquella época suponía un auténtico golpe de audacia. El planteamiento era (y sigue siendo) el siguiente: Grassmann define unos “vectores línea” (Strecke) que tienen módulo unidad y están situados en los ejes de coordenadas. Por ejemplo, en el plano se tienen y el primero sobre el eje X y el segundo sobre el eje Y, de forma que el vector (2, 3) es la suma vectorial de dos veces el primero más tres veces el segundo:

Análogamente en tres dimensiones se tendría:

Donde un vector cualquiera como (3, -2, 1) vendría representado como:

La suma de vectores se lleva a cabo también componente a componente. Por ejemplo:

(3, -2, 1) + (1, -2, 6) = (4, 0, 7)

Con la ventaja de que esto tiene una representación geométrica clara. Y lo que es aún más importante, por la misma regla de tres podemos hablar del vector (2, 3, -1, 5, que sería:

Que pertenecería a un espacio de cinco dimensiones. Es decir, que el grado de generalidad que alcanzó Grassmann con su planteamiento fue total. Aunque no lo vamos a hacer aquí, definir a partir de estos conceptos lo que es un espacio vectorial es relativamente sencillo, lo que permite establecer una geometría en la que, por primera vez, el protagonista ya no es el punto, sino el vector. Además también posibilita una visión muy clara de los sistemas de varias ecuaciones con varias incógnitas. Grassmann también definió diferentes productos entre vectores, algunos de los cuales cumplían la propiedad conmutativa y otros no. Pero, ¿resolvió todo esto el problema de los físicos? Pues no, pero no porque la herramienta no fuera válida (de hecho es la que se utiliza hoy en día) sino porque los matemáticos, por diversos motivos, apenas le hicieron caso a Grassmann.
El lado práctico de la cuestión

Dos nombres importantes están asociados a la creación del análisis vectorial, Josiah W. Gibbs (1839-1903) y Oliver Heaviside (1850-1925). Ninguno de los dos fue matemático y ambos desarrollaron el cálculo vectorial para satisfacer las necesidades que habían surgido en la física en torno a este tema. Gibbs era químico, aunque daba clases de Matemáticas en el Yale Collage. Escribió unos apuntes para distribuir de forma privada entre sus alumnos. En ellos desarrollaba el cálculo con vectores, que serían fácilmente comprensibles para todos aquellos alumnos que estuvieran familiarizados con los cuaterniones de Hamilton, aunque advertía, sin embargo, que sus planteamientos seguían la teoría desarrollada por Grassmann. Estos apuntes, que se difundieron muy rápidamente, fueron publicados conjuntamente por Wilson y Gibbs en 1901 en un libro titulado Análisis vectorial.

Heaviside fue un ingeniero de comunicaciones que se retiró muy joven a escribir tratados de electricidad y electromagnetismo. Al abordar el tema de los cuaterniones se percató de que la teoría de Hamilton estaba plagada de teoremas difíciles que poco aportaban a los ingenieros y a los físicos, que necesitaban de una herramienta más útil para su trabajo. Desligó a los cuaterniones de su parte escalar y los trató simplemente como vectores en expresiones del tipo:

v = ai + bj + ck

En donde i, j k eran vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas totalmente análogos a los “Strecke” de Grassmann, de forma que v seguía siendo el vector de componentes (a, b, c).

Se introdujeron entonces dos tipos de productos. El primero fue llamado producto escalar que quedaba definido por las relaciones:

i·i = j·j = k·k = 1

i·j = j·i = i·k = k·i = j·k = k·j = 0

Dichas relaciones traen como consecuencia que el producto de dos vectores expresado en componentes quede de la siguiente forma:

(a, b, c)·(a’, b’, c’ ) = a·a’ + b·b’ + c·c’

Por ejemplo, si v = (2, -1 3) y v’ = (2, 1, 6), entonces:

v·v’ = 4 -1 +18 = 21

De manera que el producto escalar de dos vectores no es un vector, sino un escalar. Este producto podría no cumplir algunas de las propiedades que se esperaban para un producto ortodoxo, pero era de gran utilizad en física. Por ejemplo, se puede dar el caso de que el resultado del producto sea nulo sin que lo sea ninguno de los factores:

(2, -1, 1)·(2, 2, -2) = 4 -2 -2 = 0

Un fenómeno que sucede siempre que los dos vectores son perpendiculares. En física, el trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Siempre que estos son perpendiculares el trabajo es nulo. Por ejemplo, cuando alguien se desplaza con una maleta, la fuerza que ejerce con el brazo sobre la maleta no realiza ningún trabajo.

El otro producto importante que se define entre vectores es el llamado producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores se simboliza como v x v’, o bien , y se define, siguiendo esta última notación, como:

siempre que
siempre que

El producto de dos vectores queda entonces definido de la siguiente forma:
Si  y , se tiene que:

De forma que el producto vectorial de dos vectores sí es un vector. Un vector paralelo al plano determinado por los dos factores y que tiene el sentido de avance de un sacacorchos que gira, por el camino más corto, desde el primer vector hasta el segundo. Este producto no sólo no es conmutativo, sino que ni siquiera es asociativo. Son muchas las magnitudes físicas que se definen por medio de un producto vectorial de dos vectores. Por ejemplo, el momento de una fuerza o la intensidad de un campo magnético.

¿Cuaterniones o vectores?

A finales del siglo XIX había aparecido ya una controversia declarada entre los partidarios de los cuaterniones y los de los vectores. Entre los primeros se encontraban defensores acérrimos como el matemático escocés Peter G. Tait (1831-1901), mientras que entre los segundos había científicos como Heaviside y Gibbs. La batalla fue dura, en los siguientes términos se refería Tait al trabajo de Heaviside: “…un tipo de monstruo hermafrodita, compuesto por las notaciones de Grassmann y Hamilton”. A lo que Heaviside replicó, con bastante sutileza, que el mejor instrumento de que se disponía para el tratamiento de los cuaterniones eran los cuaterniones.

Al final, la guerra la ganaron los ingenieros, ya que los vectores acabaron por imponerse y a principios del siglo XX eran muy numerosas las publicaciones de tratados prácticos sobre Cálculo Vectorial. El desarrollo tecnológico de la época estaba abonando el terreno para que la Matemática Aplicada acabara siendo, como lo es actualmente, una disciplina con entidad propia. Esto no significa, sin embargo, que en Matemática pura no se desarrollara un Álgebra Vectorial, sino todo lo contrario. La experiencia sirvió para investigar todo tipo de álgebras (no conmutativas, no asociativas, etc.) Los vectores dieron lugar, entre otras cosas, a la creación de una geometría lineal en la que el protagonista ya no era el punto, sino el vector, así como a una geometría diferencial basada en el Cálculo Vectorial.

Suma de vectores paso a paso

Si se parte de dos vectores como los siguientes:

Primero se prolongan sus rectas soporte:

Luego se deslizan ambos vectores hasta que tengan su origen en dicha intersección:

Y, por último, se aplica la regla del paralelogramo: