Trigonometría esférica

El mundo en el que vivimos tiene la forma aproximada de una esfera. Los astrónomos consideran que las estrellas del firmamento se mueven también en la superficie de una esfera a la que llaman la bóveda celeste, no es de extrañar pues que la Trigonometría Esférica y, en general la geometría de la esfera, haya sido objeto de estudio desde las más antiguas civilizaciones.

Así como la Trigonometría Plana se dedica al estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos planos, es decir, de los triángulos que se pueden construir sobre un plano, la Trigonometría Esférica estudia las mismas medidas y relaciones, pero aplicadas al caso de triángulos esféricos, es decir triángulos construidos sobre la superficie de una esfera. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los lados de un triángulo esférico no se construyen con curvas cualesquiera, sino que deben ser arcos de círculo máximo.

Círculos máximos, polos y hemisferios.

Supongamos que partimos de una esfera de radio uno. Si cortamos dicha esfera con un plano que pase por el centro de la esfera obtendremos lo que se llama un círculo máximo. En el caso en que el plano la corte sin pasar por el centro de la esfera, lo que obtendremos es un círculo menor. De hecho, los círculos máximos son circunferencias dibujadas sobre la esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera. Los meridianos y paralelos que podemos ver en una en una bola del mundo y mediante los que se representan la longitud y latitud de un lugar, son un buen ejemplo de estos dos tipos de circunferencias:

Los meridianos (los que surcan la esfera verticalmente, como el famoso meridiano de Greenwich) son círculos máximos. En cambio, los paralelos, los círculos horizontales, son círculos menores, excepto el Ecuador, que es el único paralelo que es círculo máximo.
Consideremos ahora que tenemos una esfera y un círculo máximo cualquiera perteneciente a ella. Si trazamos una recta perpendicular al plano que define el círculo máximo y que pase por el centro de la esfera, obtendremos dos puntos en la esfera que se denominan polos. En el globo terrestre, los polos correspondientes al círculo máximo que define el Ecuador son los polos geográficos que denominamos Polo Norte y Polo Sur.

Cualquier círculo máximo divide a la esfera en dos semiesferas llamadas hemisferios. Siguiendo con el ejemplo del globo terrestre, el Ecuador es un círculo máximo que divide a la esfera en dos semiesferas a las que se denominan hemisferio Austral y hemisferio Boreal.

Una vez establecidos estos conceptos podemos dar una definición más precisa de triángulo esférico como “la porción de superficie esférica limitada por tres círculos máximos, con la condición de que la medida de cada uno de los arcos sea menor que 180º”.

Diedros

Ya que la Trigonometría Esférica estudia figuras (concretamente triángulos) inmersas en un espacio de tres dimensiones, se hace necesario ampliar también el concepto de ángulo plano. De la misma forma que el ángulo plano se define como el comprendido entre dos semirrectas, el ángulo en tres dimensiones se define como el comprendido entre dos semiplanos y recibe el nombre de ángulo diedro).

Por ejemplo, la pared y el techo de una casa forman un ángulo diedro, que suele ser recto (de 90º) si se trata de una habitación, o un ángulo obtuso (>90º) si lo forman la pared y un tejado inclinado.

Medida de ángulos y lados

En Trigonometría Plana los ángulos se miden en grados sexagesimales y los lados en centímetros, metros o en cualquier otra unidad de longitud que hayamos acordado. En Trigonometría Esférica las cosas son algo diferentes, ya que los lados de un triángulo esférico se pueden medir en unidades de arco.

En principio, podríamos medir los lados de estos triángulos en metros, kilómetros o millas náuticas y, de hecho, se hace así cuando se calculan distancias en la esfera terrestre, pero no es el mejor sistema cuando se trata de resolver geométricamente los problemas que plantean este tipo de figuras, ya que la forma más natural de medir los lados de un triángulo esféricos es en grados sexagesimales (o en cualquier otra medida de arco). La razón es la siguiente: pensemos en un ángulo plano, por ejemplo de 60º, que vamos a imaginar dibujado sobre una circunferencia de radio unidad.

Ya que el lado de un triángulo esférico se ha definido como una porción de círculo máximo, es lógico que su medida, el segmento curvo AB, también venga dada en grados sexagesimales y le asignemos un valor de 60º.

Esto es en cuanto a los lados, para medir los ángulos lo que hacemos es medir los diedros que los definen. Los planos AOB y AOC forman un diedro que al cortar la esfera definen los lados b y c del triángulo esférico. Es natural, pues que la medida del ángulo A venga dada por la medida de dicho ángulo.

Grados y longitudes

Cuando decimos que el arco AB es de 60º no estamos diciendo nada sobre la longitud de dicho arco. Es más, el arco CD también es de 60º y está claro que la longitud del arco CD es mayor que la del AB. Supongamos que la menor de las dos circunferencias tiene un radio r. Saber lo que mide el arco AB lo podemos hacer mediante una regla de tres: si a 360º le corresponde la longitud de toda la circunferencia, a 60º le corresponderá una longitud de:

Es decir, le corresponde una longitud de 12 veces el radio de la circunferencia en cuestión. Si estamos hablando de una circunferencia que tiene un radio de 1 cm, el arco de 60º tendrá una longitud de 12·3,1416 = 37,6992 cm. Si se tratara de un arco de meridiano sobre la superficie terrestre, la longitud sería de algo más de 24.000 km. Sin embargo, en Trigonometría Esférica lo que nos interesa no son tanto las medidas de longitud, como las relaciones que se establecen entre ángulos y lados, esta es pues una de las razones por las que hablamos siempre de circunferencias o de esferas de radio unidad. Fueron los matemáticos árabes quienes, a finales del siglo VIII, introdujeron el valor de r = 1 y que dieron la forma moderna a las funciones trigonométricas.

El problema del oso

Un explorador sale a cazar. Abandona su campamento y se dirige 10 km hacia el Sur, luego otros 10 km en dirección Oeste y, por último, 10 km más hacia el Norte. Al finalizar el recorrido se da cuenta de que se encuentra de nuevo en su campamento. En aquel momento se encuentra un oso husmeando en su tienda. Aprovecha la oportunidad, se encara la escopeta y le apunta. ¿De qué color es el oso?

Tal y como está planteado el problema, el explorador ha tenido que recorrer los lados de un triángulo esférico equilátero, en una situación geográfica que sólo puede darse en el Polo Norte, por lo que el oso tiene que ser blanco.

Los primeros 10 km del recorrido AB los hace a través de un meridiano, los siguientes BC a lo largo de un paralelo y los últimos a lo largo de un meridiano que cierra el triángulo esférico en el Polo Norte. En cualquier otra situación geográfica no seria posible obtener un triángulo esférico equilátero.

Los orígenes de la Trigonometría Esférica

En los trabajos de divulgación o en los programas de enseñanza media es habitual y lógico introducir primero la Trigonometría Plana para después abordar la Trigonometría Esférica. Pero no es éste el camino que siguió en su desarrollo histórico. Ya desde muy antiguo, la mayoría de las culturas avanzadas se plantearon el problema de determinar la posición de los cuerpos celestes y de predecir sus trayectorias, así como poder medir el paso del tiempo durante la noche, establecer métodos seguros de navegación, configurar mapas y realizar los cálculos necesarios para la creación de un calendario. Todo esto suponía, entre otras cosas, cuantificar la astronomía, es decir, convertir en una ciencia matemática lo que hasta entonces había sido una mera disciplina descriptiva. Se considera a Hiparco de Nicea (180-125 a.C.) como al padre de la Trigonometría, del que sólo se conserva su Comentario sobre los Phaenomeana de Eudoxo y Aratus, un tratado sobre las cuerdas en un círculo. La mayoría de lo que se conoce de los trabajos de Hiparco se encuentra en los escritos de Menelao de Alejandría (100 d.C.), que fue el primero en definir lo que era un triángulo esférico en su tratado Sphaerica, que en su versión árabe consta de tres libros. En dicha obra se pueden encontrar las demostraciones de un gran número de teoremas de geometría esférica, la mayoría basados en su célebre teorema, todavía conocido actualmente como Teorema de Menelao. Pero la gran figura histórica de la antigüedad en cuestiones de trigonometría fue sin duda alguna Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.), que legó una monumental obra en 13 libros, el Almagesto, en la que, según sus propias palabras, se propuso “fundamentar la astronomía sobre los caminos incontrovertibles de la aritmética y la geometría”. Para la resolución de triángulos esféricos se apoya también en el Teorema de Menelao y consigue dar a la Trigonometría Esférica una sólida estructura que se conservaría inalterada durante más de 1.000 años.

En occidente, la Trigonometría no se introdujo hasta el siglo XII y lo hizo a través de los árabes, entre los que hay que destacar a Nasir Al-Din (1201-1274), ya que fue el primero en considerar a la Trigonometría como una rama independiente de la Astronomía con identidad propia. Sin embargo, hacia finales del siglo X, los astrónomos árabes conocían ya las seis funciones trigonométricas y habían demostrado varios teoremas fundamentales de la Trigonometría Esférica. El objetivo fundamental al que aplicaban todos estos descubrimientos era, aparte de la medición del tiempo, la posibilidad de encontrar, desde cualquier lugar, cual era la dirección a la Meca.

En España la Trigonometría no resurgió hasta el año 1.000. La figura más destacada fue Al-Jayyani (989-?), algebrista hispano-árabe al que se atribuye la obra el Libro de los arcos desconocidos sobre una esfera. Pero el avance más importante que se produjo en occidente tuvo lugar en el siglo XV con la figura de Johan Müller (1436-1476), más conocido como Regiomontano[1], astrónomo alemán, que tradujo el Almagesto de Ptolomeo y que creó, en su tratado De Triangulis Omnimodis (1464), una metodología para resolver de forma sistemática los triángulos planos y esféricos. A pesar de que la Trigonometría Esférica llegó a constituirse en una rama completamente independiente de las Matemáticas, con un cuerpo teórico propio, no dejó de tener en ningún momento un objetivo eminentemente práctico. Gracias a los teoremas se obtenían fórmulas y gracias a las fórmulas se podían resolver problemas que afectaban directamente a la Astronomía, el cálculo del tiempo, la agrimensura o la navegación. Pero el gran escollo con el que se encontraban siempre las aplicaciones prácticas eran los engorrosos e interminables cálculos que debían realizarse para resolver completamente cualquier problema. Este es el motivo por el que hay que considerar el descubrimiento de los logaritmos por John Napier (1550-1617) como una pieza clave en el desarrollo de la Trigonometría Esférica. Un verdadero salto cualitativo que sólo fue superado con la aparición de los modernos ordenadores.

La bóveda celeste

Cuando miramos al cielo en una noche despejada, todos los cuerpos celestes, estrellas, Luna y planetas, son puntos que parecen brillar y moverse sobre la negra superficie de una gran bóveda que nos envuelve. Los antiguos consideraron que esta bóveda era como una gigantesca esfera, que giraba a lo largo del día y en cuyo centro estaba la Tierra. Con la simple observación no era posible calcular las distancias que nos separaban de las estrellas, pero a efectos prácticos, era más que suficiente para poder determinar su posición y, en todo caso, las distancias relativas entre ellas. Dado su enorme valor práctico, este esquema se ha conservado a lo largo del tiempo, definiéndose la esfera celeste como una esfera de radio arbitrario que tiene su centro en el centro de la Tierra. Es obvio que la esfera celeste no se mueve, ya que se trata sólo de un movimiento aparente que es consecuencia del movimiento de rotación de la Tierra. En estas condiciones, todos los cálculos de ángulos y distancias que se lleven a cabo tendrán lugar sobre la superficie de una esfera y por lo tanto será obligado el uso de la Trigonometría Esférica.

[1] Regiomontano tuvo un gran acierto cuando descubrió un cometa, que 270 años después sería redescubierto como el cometa Halley. Pero también cometió un gran error cuando defendió, con absoluta intransigencia, que la Tierra no se movía.