El concepto de número se aprende en la infancia, es posterior al del lenguaje y es uno de los procesos mentales más difíciles que realiza un ser humano a lo largo de toda su vida.
Saber contar
La forma más primitiva de contar consiste en comparar uno a uno los objetos que forman dos colecciones diferentes de objetos. Si un pastor que quiere controlar el número de ovejas que hay en su rebaño puede coger una bolsa y poner en ella una piedra por cada oveja cuando, al acabar, el día las ovejas vuelvan al redil, no tiene más que sacar de la bolsa una piedra por cada oveja que entra. Si al finalizar le queda alguna piedra en la bolsa es que ha perdido alguna oveja.
Para contar de esta forma, los hombres primitivos han utilizado cualquier objeto que se adecuara al sistema: piedras, palos, conchas, muescas en una trozo de madera, nudos en cuerdas o marcas en la arena. Es un sistema simple pero eficaz, siempre y cuando no se trate de grandes números y que, curiosamente, se basa en un importante tipo de correspondencia entre conjuntos a la que los matemáticos no pusieron nombre hasta bien avanzado el siglo XIX: la “correspondencia biunívoca”.
Cantidad
El proceso mediante el cual el hombre primitivo llega al concepto abstracto de “número” es largo y difícil. En el hecho de utilizar objetos tan diversos como piedras o palos, o incluso diferentes dibujos figurativos, se encuentra el germen de un primer concepto importante que es el de “número cardinal”. Es decir, que la naturaleza de los objetos que utilizan para contar no desempeña ningún papel en el hecho de numerar. Para contar diez ovejas da lo mismo que se utilicen palos, marcas en la arena o los dedos de las manos. El número se convierte así en una abstracción.
Orden
El paso siguiente en la concepción abstracta del número es el concepto de orden: saber que puede existir un primero, un segundo, un tercero, etc. Esta idea, que surge de forma natural cuando una colección cualquiera de objetos se ponen en fila o simplemente uno al lado del otro, se corresponde con el concepto de “número ordinal”. Sin embargo, cuando se cuenta una colección de objetos es importante tener en cuenta que el proceso es totalmente independiente del orden en el que observa dichos objetos; el realmente importante es el último objeto numerado, que es el que nos va a dar el número cardinal que representa a la colección.
Distintas formas de contar
-Los Damara, una tribu Bantú del Africa subecuatorial, cuentan cogiendo con una mano los dedos de la otra. Este sistema no les permite contar más allá de cinco. Sin embargo, nunca pierden una cabeza de ganado, no porque las cuenten, sino porque encuentran a faltar una cara conocida.
- En el reino animal se encuentran numerosos ejemplos de especies con capacidad para contar con precisión. Las avispas solitarias, por ejemplo, son capaces de contar el número de orugas vivas que dejan como alimento en las celdillas en las que han puesto los huevos. Lo hacen siempre con un número exacto de 5, 12 o 24.
- Los romanos les ponían nombre propio a sus hijos, paro sólo hasta el cuarto, a partir de éste los numeraban: quintus (quinto), sextus (sexto), octavius (octavo), décimus (décimo). En el caso de familia numerosa no era raro que a un hijo le tocara llamarse Numerius (numeroso).
- (La figura con la mano): Utilizar las falanges de los dedos de las manos para contar ha sido un método ampliamente utilizado entre los pueblos asiáticos. De esta forma se puede contar, entre las dos manos, hasta 28. En China era frecuente que las mujeres llevaran un control de su ciclo menstrual atándose un pequeño lazo a cada una de las falanges.
No sólo con los dedos: Los Papues de Nueva Guinea se tocan diversas partes del cuerpo para indicar un número. Empiezan por tocar el dedo meñique de la mano derecha para indicar el número uno, a partir de aquí recorren todos los dedos, luego la muñeca, el codo, el hombro , la oreja, nariz y boca, para pasar entonces a la oreja derecha y continuar el recorrido hasta acabar en el dedo meñique de la mano izquierda que corresponderá al número 22.
La mano es la referencia más inmediata que tenemos para comparar dos colecciones de objetos. Los dedos hacen las funciones de palos, piedras o marcas. Los podemos coger con la otra mano u ocultarlos para contar desde uno hasta cinco.
-Cinco Alces: Todas las maneras posibles de contar o representar numéricamente cinco alces. La diferencia fundamental entre los diferentes métodos, ya sean orales o escritos, estriba en la presencia o no de un referente visual. Los elementos que carecen de él son de naturaleza abstracta e indican un mayor grado de evolución cultural.
-Egipcios: En el Egipto de los faraones se empleaba frecuentemente la mímica con los dedos de las manos, el “cálculo digital”, para llevar a cabo la contabilidad. En esta pintura del siglo V antes de J. C. puede verse a un escriba que dicta sus cuentas con la mímica de las manos.
-Cuadro de manos: Uno de los métodos más elaborados que se conocen para contar con las manos es el de la mímica de los dedos, muy similar al del lenguaje de los sordomudos y que se empleó durante siglos en los pueblos del Mediterráneo y también del Oriente Próximo.
AGRUPAR NÚMEROS
En matemáticas se considera que hay cuatro niveles de abstracción, el primero de los cuales es el concepto de número.
El sistema posicional
Estamos habituados a dar el valor “cuatrocientos” al cuatro que se encuentra en la expresión 2.461, el valor “cuarenta” si la expresión es 1.648 o “cuatro mil” si se trata de 4.892. Esta facilidad con la que percibimos el cambio de valor de la cifra 4 según la posición en que se encuentre, es el resultado de uno de los inventos más importantes de la historia de la humanidad: los sistemas de numeración posicionales.
En un sistema de numeración que no sea posicional, el símbolo que representa a un número tiene el mismo valor sea cual sea la posición que ocupe. Por ejemplo, en el sistema de numeración romano el número cinco, que viene representado por la letra V, tiene el mismo valor en las expresiones XV, XVI o VII; en cambio, en nuestro sistema de numeración el número cinco valdría cinco unidades en el primer caso, cincuenta en el segundo y quinientas en el tercero.
Agrupar números
Aunque en un principio el número de objetos a contar sea de un tamaño moderado, es fácil que aparezca la necesidad de enumerar colecciones de centenares o miles de objetos. La influencia de los astrónomos en civilizaciones avanzadas fue decisiva en este aspecto. Pero hay que tener en cuenta que el número de palabras de que se dispone en cualquier lenguaje es siempre limitado.
Esta economía de lenguaje y una mayor comodidad en la actividad de contar ha llevado a los pueblos primitivos a agrupar las cantidades. La agrupación más elemental es de dos en dos, luego de tres en tres, etc. Hay agrupaciones naturales, como las de cinco en cinco, que corresponden a los dedos de una mano, o de diez en diez si consideramos ambas manos. Esta última fue precisamente la que dio lugar a nuestro actual sistema de numeración decimal, y es que en el agrupamiento de números está el germen de lo que luego serán las bases en los diferentes sistemas de numeración.
No siempre de diez en diez
Contar huevos es algo que hecemos de 12 en 12, y éste es sólo un ejemplo de las diferentes agrupaciones que todavía utilizamos en nuestra vida cotidiana. El idioma francés todavía arrastra huellas del sistema de numeración en base 20 (dedos de las manos y de los pies) cuando para decir, por ejemplo, 83 dice quatre-vingt-trois, cuatro veces veinte más tres.
Otro ejemplo lo tenemos en el sistema que adoptamos para designar numéricamente el paso del tiempo o la medida de ángulos, en el que se utiliza la base sesenta (procedente del sistema de numeración de los babilonios), agrupando los segundos de sesenta en sesenta para hacer un minuto, y éstos de sesenta en sesenta para obtener una hora.
Diferentes sistemas de numeración
- Los pigmeos de África utilizan un sistema de numeración en agrupaciones de tres: para los tres primeros números usan las palabras a (1), oa (2) y ua (3), a partir de aquí se van repitiendo: oa-oa (4), oa-ua (5), ua-ua (6).
- En las tribus primitivas americanas se han llegado a encontrar hasta 307 sistemas de numeración diferentes, de los cuales 146 forman agrupamientos de 10, 106 agrupamientos de 5 y de 10, 81 que son binarios (agrupamientos de 2), 35 en agrupamientos de 5 y de 20, 15 a agrupamientos de 4, 3 a agrupamientos de 3 y únicamente uno que utilizó la base 8.
- El sistema de numeración maya utilizaba signos muy simples para las cifras consistentes en puntos y rayas en agrupaciones de cinco. Aunque no era operacional, también habían inventado el cero, que tenía forma de concha.
- Los chinos siguen utilizando la misma grafía para los números que crearon hace más de seis mil años, que se basa en trece signos fundamentales y que corresponden a caracteres de su escritura. En ocasiones, estos caracteres adquirían una forma especial, los llamados “gán-mà-zi” o “marcas secretas” utilizados en criptografía y con lo que hasta no hace mucho algunos comerciantes marcaban el precio de sus mercancías.
Números romanos: A pesar de no ser un sistema de numeración posicional, el sistema de numeración romano arraigó fuertemente en la tradición europea. Aún hoy en día es utilizado para referirse a los siglos o para eventos de los que se quiere magnificar de alguna forma, como es el caso de la olimpíadas o de algunos certámenes.
Inscripciones cuneiformes: (Tabla de terracota del 2400 antes de J. C) En Babilonia el sistema de numeración fue creado por matemáticos y astrónomos 2000 años antes de J. C. y está considerado como el más avanzado de la Antigüedad. Era un sistema de numeración posicional que utilizaba sólo dos cifras con aspecto de cuña (de ahí el nombre de cuneiforme): un clavo vertical representaba al número 1 y una espiga horizontal al número 10.
Inscripciones egipcias: Los egipcios tenían un sistema de cifras con el que podían llegar a superar hasta el millón. Para los 9 primeros números utilizaban grupos de líneas, para las decenas una U invertida y una espiral para las centenas. Para cantidades mayores utilizaban diversos jeroglíficos, como, por ejemplo, el hombre sentado y con los brazos abiertos hacia el cielo que representa el millón.
Inscripciones griegas: La invención del alfabeto llevó a muchas culturas, como la griega o la hebrea, a utilizar las letras para representar números, utilizando la ordenación ascendente del alfabeto. Esto presentaba el inconveniente, en algunos casos, que no se pudiera distinguir entre una palabra y un número.
Esta entrada tiene su continuación en Sistemas de numeración II.
