Sistemas de ecuaciones y determinantes

Los sistemas de ecuaciones lineales representan una algebrización de la llamada Geometría Lineal (de rectas y planos) en la que los determinantes son la herramienta fundamental.

Dos planteamientos sencillos

Supongamos que se nos plantea el siguiente problema: Tengo dos hijos pequeños cuyas edades suman cuatro años y la diferencia entre el mayor y el pequeño es de dos años. ¿Qué edad tiene cada uno de mis hijos?

Se trata de un enunciado muy sencillo y podríamos resolverlo a ojo, pero ante la eventualidad de enunciados más complicados, lo mejor es acostumbrarse a plantear este tipo de problemas mediante ecuaciones. Si llamamos x a la edad del pequeño de los hermanos e y a la del otro tendremos que:

La edades suman cuatro años: x + y = 4

Restando las edades el resultado es dos: y – x = 2

Lo que nos lleva a considerar lo que se llama un sistema de ecuaciones que, en este caso, es de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Una manera posible de resolver este sistema es despejar la x en la primera ecuación:

x = y – 2

Y sustituir el resultado en la segunda:

y – 2 + y = 4

2y = 6

y = 6/2 = 3

Con este valor de y volvemos a la primera ecuación y obtenemos el valor de x:

x – 3 = -2

x = -2 + 3 = 1

De manera que el pequeño tiene un año y el mayor tiene tres. Para resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas hemos empleado un método que recibe el nombre de método de sustitución.

Veamos ahora otro problema, pero esta vez de geometría: Encontrar el punto de coordenadas del plano en el cual se cortan las rectas y = x + 2 e y = -x + 4.

También podemos intentar resolverlo a ojo utilizando un papel milimetrado para dibujar las rectas y localizar el punto en el que se cortan. Esto nos llevaría a determinar el punto (1, 3) de intersección de ambas rectas. Si no lo queremos resolver gráficamente (algo que la mayoría de las veces no es posible) siempre podemos plantear un sistema de ecuaciones, que será el que definen las dos rectas. Al fin y al cabo lo que buscamos es un punto (x, y) del plano que esté en las dos rectas a la vez y que, por tanto, verifique simultáneamente las dos ecuaciones:

Vemos que son las mismas que aparecían en el problema anterior.

Sistemas lineales

Un sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones, es decir por una serie de igualdades en las que hay números y letras. Las letras son incógnitas cuyo valor debemos determinar. De entre todos los sistemas de ecuaciones posibles hay unos muy especiales que reciben el nombre de sistemas lineales y que son aquellos en los que las incógnitas no están elevadas a ningún exponente cuyo valor sea superior a 1. Por ejemplo, el siguiente sistema no es lineal:

Pero sí lo es el que se muestra a continuación:

En general un sistema lineal puede estar formado por un número cualquiera de incógnitas y un número cualquiera de ecuaciones. Se hace referencia entonces a un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. En el ejemplo del comienzo hemos resuelto un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Hicimos entonces dos versiones diferentes de un mismo problema. La primera tenía un carácter aritmético y la segunda geométrico. Esto es algo que siempre se puede hacer con los sistemas lineales, en el sentido de que sea cual sea el planteamiento siempre es posible llevarlo al terreno de la geometría de rectas y planos. Los sistemas con dos incógnitas nos hablaran de rectas en el plano y los sistemas en los que aparezcan tres incógnitas de planos en el espacio. Una ecuación del tipo Ax + By + Cz = D es la ecuación de un plano. Esto significa que un sistema, como por ejemplo:

Representa la ecuación de dos planos, pero en muchos casos, también puede interpretarse como la ecuación de una recta de intersección de ambos planos.

Clasificación de sistemas lineales

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene porqué tener siempre solución. Por ejemplo, el siguiente sistema carece de ella:

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no admite solución se dice que es incompatible, y en caso contrario que es compatible.

Cuando se estudia geometría analítica la interpretación intuitiva de la compatibilidad o incompatibilidad de sistemas de ecuaciones resulta muy intuitiva, ya que, en general, estamos hablando de la posición relativa de planos, rectas y puntos en el espacio. Recordemos que una ecuación con tres incógnitas representa un plano, por lo tanto que un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas sea incompatible quiere decir que estamos ante dos planos que no se cortan. Otro caso sería, por ejemplo, el formado por tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que fuera compatible. Esto significaría que estamos ante tres planos que se cortan en un punto. A mucha gente le resulta difícil imaginar tres planos que se cortan en un punto, pero no hay más que observar una esquina del suelo o del techo de una habitación para visualizar los tres planos y el punto.

En el caso en que un sistema sea compatible se puede dar la circunstancia de que tenga más de una solución. Cuando tiene una única solución se dice que el sistema es determinado. En caso contrario, se trata de un sistema indeterminado. En este último caso el número de soluciones es infinito. Es decir, un sistema lineal compatible no puede tener 2, 35 o 5.000 soluciones. O tiene una o no tiene ninguna o tiene infinitas. Algo que geométricamente está muy claro. Por ejemplo, un sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas hemos dicho que representaba la posición relativa de dos planos en el espacio. Entonces hay tres posibilidades:

1) Que los dos planos sean paralelos, por lo tanto no tendrán ningún punto en común y el sistema de ecuaciones carecerá de solución: sistema incompatible.

2) Que los dos planos se corten en una recta. Todos los puntos que estén en dicha recta serán solución del sistema de ecuaciones: sistema compatible. Pero es evidente que la solución no es única: sistema indeterminado. Hay tantas soluciones como puntos tiene la recta, o sea infinitos.

3) Que se trate del mismo plano (una ecuación como x + y + z = 1 y otra como 2x + 2y + 2z = 2 representan obviamente el mismo plano). En este caso también se trata de un sistema compatible e indeterminado con infinitas soluciones.

Sistemas homogéneos

Cuando todas las ecuaciones de un sistema lineal están igualadas a 0 se dice que el sistema es homogéneo. Por ejemplo, es un sistema homogéneo:

Un sistema de estas características es siempre compatible, ya que x = 0; y = 0 es una solución del sistema, llamada solución trivial. Se dice entonces que un sistema homogéneo es compatible cuando tiene soluciones distintas de la trivial.

Resolución de sistemas

Hasta ahora hemos dado las definiciones más generales de sistemas de ecuaciones lineales, su clasificación y una interpretación geométrica de los mismos, pero nada hemos dicho sobre la forma en cómo pueden ser resueltos. El primer ejemplo de las edades de los niños lo hemos solucionado aplicando el método de sustitución, pero es obvio que este método no será práctico si debemos enfrentarnos a un sistema lineal de 30 ecuaciones con 25 incógnitas, por decir algo. Existen muchos métodos diferentes para resolver sistemas de ecuaciones. Unos se adaptan mejor que otros, según el tipo de sistema. No vamos a entrar ahora en ello, pero sí es interesante que nos detengamos en un aspecto que significó una importante revolución en la historia del Álgebra, y que fue la aparición de los determinantes.

Los primeros determinantes

No tendría mucho sentido ponerse a resolver un complicado sistema de ecuaciones lineales sin saber de antemano si dicho sistema carece de soluciones. Por este motivo parece razonable encontrar primero algún mecanismo algebraico que nos permita saber si el sistema es o no compatible.

Volvamos al ejemplo del inicio, en el que tratábamos de encontrar las soluciones a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Partamos del caso más general de un sistema lineal homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Tal y como hicimos en el ejemplo, vamos a resolverlo por sustitución. Despejamos la x de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:

O, lo que es lo mismo: . Si la primera expresión encerrada en el paréntesis es diferente de cero, deberá ser necesariamente y =0, y por tanto x = 0. Luego, una condición necesaria para que el sistema sea compatible es que .  Si aplicamos esta regla al sistema:

Tendremos que:

2·3 – (-1)·7 = 6 + 7 = 13

Con lo que el sistema admite soluciones diferentes de la trivial y es, por tanto, compatible.

En el caso de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

Al despejar todas las incógnitas se llega a la conclusión de que para que el sistema admita soluciones se debe cumplir que:

Estas dos expresiones generales que hemos encontrado reciben el nombre de determinantes del sistema. Cuando los coeficientes del sistema se disponen en forma de filas y columnas se habla de la matriz asociada al sistema. Por ejemplo:

Tiene como matriz asociada:

Y el sistema:

La matriz asociada:

Se puede hablar entonces del determinante de una matriz.

Determinantes

Un determinante es un objeto matemático asociado a una matriz cuadrada. En realidad es un número que se calcula a partir de los números que forman la matriz. Por ejemplo, dada la matriz cuadrada A:

Se define su determinante como:

Para encontrar el valor de dicho número se siguen unas reglas de cálculo determinadas. En el caso de una matriz 2×2 como la del ejemplo, la regla es muy sencilla:

Se hace la resta de los dos productos en diagonal de la matriz:

Por ejemplo:

En el caso de que se trate de una matriz 3×3 se aplica la llamada regla de Sarrus, que viene representada por el siguiente esquema:

Los caminos indicados por las líneas rojas representan los productos de los elementos de la matriz que deben hacerse. Primero y bajo el signo + aparecen tres de estas líneas. Cada una de ellas corresponde a un sumando y cada sumando está formado por el producto de los tres elementos de matriz que recorren dichas líneas. En el primer bloque todos llevan signo positivo y en el segundo bloque todos llevan signo negativo. Por ejemplo:

Para matrices de orden superior al 3, las cosas se complican un poco y hay que acudir a un método llamado desarrollo de Laplace o de menores complementarios. Por definición, el menor complementario de un elemento es el determinante de la matriz que se obtiene cuando de ésta se eliminan la fila y la columna que corresponden al elemento en cuestión. Por ejemplo en la matriz:

El menor complementario correspondiente al elemento que está colocado en la fila 3, columna 2, es decir al número 7, sería:

A partir de aquí se puede definir el adjunto de un elemento a_ij como el valor del producto de dicho elemento por el del menor complementario correspondiente. Si denominamos A_ij a dicho adjunto tendremos que, para la matriz anterior,

A₃₂ = 7·(-41) = -287.

Vemos que ha aparecido un signo menos que no figuraba en el valor del determinante. Esto es debido a la siguiente regla de signos: se toma como signo + el primer elemento de la matriz a₁₁, y a partir de aquí se van alternando los signos hasta llegar al elemento del que queremos calcular el adjunto. En nuestro caso empezamos adjudicando el signo + al primer elemento que es el número 2 y vamos recorriendo los elementos de la matriz alternando signos + – + – hasta llegar al número 7. No importa cual sea el camino que sigamos para llegar hasta el elemento que nos interesa, ya que el resultado será siempre el mismo.

A partir de aquí el desarrollo de un determinante por adjuntos se realiza de la siguiente forma: se toma una fila o una columna cualquiera del determinante y se hace la suma de todos los adjuntos de dicha fila o columna con su signo correspondiente. Por ejemplo, en la matriz anterior si desarrollamos por los adjuntos de la primera fila nos queda:

Mediante el desarrollo por menores complementarios se puede calcular pues el valor del determinante de cualquier matriz. El determinante de una matriz 4×4 nos llevaría, aplicando este método, a cuatro adjuntos, cada uno de los cuales constaría de un determinante 3×3. Se comprende pues que el cálculo se hace muy engorroso a poco que aumente el grado de la matriz. Frente a esto hay dos salidas. La primera y más recomendable es que se calcule el determinante mediante algún tipo de programa informático (hay muchos para elegir). La otra alternativa, y de carácter evidentemente más matemático, es conseguir mediante una serie de transformaciones permitidas que en el determinante aparezcan la mayor cantidad posible de ceros en una fila o columna, ya que al desarrollar por los correspondientes adjuntos todos esos sumandos valdrán 0. Por ejemplo para calcular el valor del determinante:

Veamos ahora cuales son esas transformaciones permitidas que mencionábamos antes:

1) Cuando se multiplica una fila o una columna cualquiera de un determinante por un mismo número el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

2) Al cambiar entre sí dos filas o dos columnas éste cambia de signo.

3) El valor de un determinante que tiene dos filas o dos columnas iguales es 0.

4) El valor de un determinante con una fila o una columna de ceros es nulo.

6) Si todos los elementos de una fila o una columna de un determinante contienen un mismo factor, este factor común puede sacarse fuera del signo determinante.

7) Si los elementos de cualquier fila o columna de una matriz cuadrada son sumas de igual número de términos, su determinante es igual a la suma de tantos determinantes como sumandos figuren en la fila o columna. Los nuevos determinantes serán iguales al de partida, excepto que en la columna correspondiente a los sumandos figurará el primer sumando para el primer determinante, el segundo sumando en el segundo determinante y así sucesivamente.

8) Si a los elementos de una fila a o una columna se le suma una combinación lineal de otras filas (o columnas) el valor del determinante no varía.

La última propiedad es la más interesante cuando lo que querremos es introducir ceros en un determinante. Veamos un ejemplo sencillo. Calcular el valor del determinante:

Los pasos seguidos son:

En la primera igualdad: a la 3ª columna se le resta la 4ª.

En la segunda igualdad: a la 1ª fila se le resta la 4ª.

En la tercera igualdad: a la 1ª columna se le resta la 2ª.

Desarrollando ahora por los adjuntos de la primera fila queda:

Breve apunte histórico

El primer estudio sistemático de un sistema de ecuaciones lineales, tal y como lo hemos planteado aquí, se debe a Leibniz, quien en 1693 ideó el método de los subíndices para representar y resolver sistemas sencillos. Sin embargo, el nombre de Cramer es el que con más frecuencia oyen nombrar los estudiantes de los primeros cursos de Álgebra lineal (Regla de Cramer). En realidad Cramer publicó en 1750 la regla que MacLaurin había publicado en su Tratado de Álgebra de 1729 y que permitía resolver mediante determinantes sistemas de ecuaciones lineales de hasta cuatro incógnitas. Cramer también estableció los signos que debían llevar los términos del desarrollo de un determinante y más tarde, Bezout sistematizó dicha regla para utilizarla tal y como hacemos hoy en día. El primer estudio completo y consistente de la Teoría de Determinantes lo hizo Vandermonde, al que se debe la regla para desarrollar un determinante en el cálculo de menores complementarios.

A pesar de que en la enseñanza se introducen primero las matrices y después los determinantes, el proceso histórico fue al revés. Las condiciones impuestas para la compatibilidad de sistemas lineales de ecuaciones llevaron a unas relaciones entre los coeficientes que dieron nacimiento a los determinantes. Posteriormente, la ubicación de estos mismos coeficientes en filas y columnas promovió el nacimiento de las matrices. Tanto matrices como determinantes han seguido un desarrollo posterior que ha ido mucho más allá de la inicial resolución de ecuaciones, para convertirse en herramientas de cálculo fundamentales.