El azar es uno de los conceptos más arraigados en los orígenes de todas las culturas. Generador de algunas religiones y de muchas supersticiones, fue abordado por los matemáticos, que lejos de pretender conocer el futuro, acotaron sus posibilidades introduciendo el concepto de probabilidad.
Se dice que algo es aleatorio cuando es incierto, cuando depende del azar. El Cálculo de Probabilidades es la rama de las Matemáticas que establece las leyes por la que se rigen los sucesos aleatorios. Es frecuente pensar que si se ha lanzado una moneda al aire 5.000 veces y en todas las ocasiones ha salido cara, lo más probable es que, en el siguiente lanzamiento, salga cruz. Esta puede ser una forma intuitiva de pensar, e incluso se puede llegar a creer que es lo más razonable, pero nada más lejos de la verdad. La probabilidad de que salga cruz es del 50 %, no importa el número de veces que se haya lanzado la moneda, ya que ésta no tiene memoria de lo que ha sucedido en el lanzamiento anterior.
Otro ejemplo de que la forma intuitiva de pensar puede conllevar errores lo proporciona la siguiente anécdota: Un renombrado profesor de estadística de la Universidad de Harvard (la anécdota se adjudica a diferentes personas del ámbito estadístico) llevaba siempre que viajaba en avión, en una época con controles menos exhaustivos, una maleta con una falsa bomba. Los motivos que aducía a tan extravagante costumbre eran, según argumentaba, que “la probabilidad de que en el avión que yo viajo haya alguien con una bomba es muy baja, pero la probabilidad de que haya dos es casi nula”.
Decimos que la probabilidad de que salga cara es del 50 % porque de manera automática hemos calculado las posibilidades de que esto suceda. En términos más precisos, hemos calculado la probabilidad sabiendo que las dos únicas posibilidades, cara y cruz, están en igualdad de condiciones. Lo que hacemos entonces es un cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Si queremos conocer la probabilidad de que salga cara, el número de casos favorables es 1 y el de casos posibles 2, con lo que la probabilidad de que salga cara en el lanzamiento de una moneda es de 1/2 = 0,5, que expresado en tanto por ciento es el 50 %. Esta fórmula para el cálculo de probabilidades se expresa como:
Probabilidad = número de casos favorables / número de casos posibles
Esta formulación apareció en los Essais philosophique sur les probabilités de Laplace, un pequeño libro que él consideraba de divulgación y en el que estaban contenidas las ideas fundamentales de su gran obra Teoría Analítica de Probabilidades, publicada en 1812. Según expone en dicha obra, se puede obtener la “probabilidad buscada asignando a todos los sucesos del mismo tipo un cierto número de casos igualmente posibles (es decir, tales que sobre su existencia estamos igualmente indecisos), y determinando los casos favorables al suceso”.
En la aplicación de esta fórmula es importante tener en cuenta que los casos posibles han de ser equiprobables, es decir, que todos han de tener la misma probabilidad de suceder. En una ruleta trucada, por ejemplo, podría haber números con una mayor probabilidad de salir que otros y la fórmula no sería aplicable.
Cálculos en los juegos de azar
Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de que salga un 5 en el lanzamiento de un dado. En este caso el número de casos favorables es 1 y el de posibles es 6, con lo que la probabilidad que buscamos será de 1/6. En cambio, si hubiéramos estado interesados en calcular la probabilidad de que salga un número par, el número de casos favorables hubiera sido de 3, ya que en un dado hay tres números pares: 2, 4, 6 y el de casos posibles sería siendo de 6, con lo que:
Probabilidad de sacar un número par = 3/6 = 1/2 = 0,5
Por el mismo sistema se puede calcular la probabilidad de ganar a la lotería primitiva cuando hacemos una apuesta sencilla. El número de casos posibles viene dado por las combinaciones de 49 elementos tomados de 6 en 6, que son:
De estos casi 14 millones de posibilidades sólo hay una combinación ganadora, es decir, un solo caso favorable, con lo que las probabilidades de acierto son:
(aproximadamente)
Al suceso cuya probabilidad es 0 se le denomina suceso imposible, como sería el caso de sacar un 7 en el lanzamiento de un dado corriente. Y al suceso cuya probabilidad es 1 se le llama suceso seguro, como por ejemplo, sacar un número menor que 7 en el lanzamiento de un dado.
Podéis leer la continuación de este artículo aquí.
Con esta entrada participamos en la edición 2.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Los Matemáticos no son gente seria.
