Números imaginarios

“El espíritu Divino halló una sublime expresión en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, ese anfibio entre el ser y el no ser que llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”.

Leibniz

Ningún matemático se sentó un día en su mesa y dijo ¡voy a construir los números imaginarios! Aparecieron solos, como fantasmas, en las soluciones de algunas ecuaciones. Y como fantasmas permanecieron durante siglos apareciendo aquí y allá, incomodando a todos con su presencia. La mayoría de los matemáticos estuvieron evitándolos o ignorándolos, hasta que un día, estos fantasmas, los números imaginarios, se integraron con pleno derecho en los cálculos. Se les aceptó como soluciones de ecuaciones y adquirieron una identidad propia, y pasaron a ser un concepto fundamental en las Matemáticas y de presencia obligada en cualquier texto de enseñanza elemental.

Aún así, todavía hay quien cree que los números imaginarios son un invento más de las Matemáticas, que sólo tienen presencia en un mundo ideal, completamente alejado de la realidad. Y nada más falso. Los números complejos son los ladrillos sobre los que se construye la física actual. Tienen incluso aplicaciones eminentemente prácticas, como por ejemplo en ingeniería electrónica, en la que se utilizan números reales para medir la resistencia, pero números complejos para la inductancia y la capacitancia. Sin embargo, en pleno siglo XX todavía era frecuente encontrar libros de texto, especialmente de trigonometría, que en sus demostraciones evitaban a toda costa la presencia de números imaginarios, incluso en situaciones en las que su utilización hubiera simplificado enormemente los cálculos.

Raíces de números negativos

La raíz cuadrada de un número a, que se simboliza con el signo  , es por definición otro número b, tal que al elevarlo al cuadrado nos da a, es decir que significa que b² = a. Por ejemplo:

, porque 2² = 4

, porque 3² = 9

Por otro lado, existe una regla de signos para la multiplicación y la división que se traduce en que “más por más es igual a más; más por menos (o menos por más) es igual a menos” y “menos por menos es igual a más” que escrito de forma simbólica sería:

Esto se traduce literalmente en las operaciones entre números:

5·2 = 10

(-5)·2 = -10

(-5)·(-5) = 25

Según esto, el cuadrado de un número, que es el resultado de multiplicar dicho número por si mismo, no puede dar nunca un resultado negativo, ya que si el número es positivo “más por más” dará un resultado positivo y si el número es negativo “menos por menos” dará también un resultado positivo.

Este es el motivo por el que, en principio, no se puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, no puede ser igual a 2 ya que 2·2 = 4, ni tampoco -2, ya que (-2)·(-2) = 4.

El número i

Queda entonces claro que se puede asegurar que  , pero que no existe  . No existe como número real, pero nada nos impide definirlo como nuevo número al que llamaremos i.

Veamos qué sucede con este nuevo número que hemos obtenido cuando lo elevamos a diferentes potencias:

 

Y a partir de este punto se iría repitiendo la misma cadencia:

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

i⁸ = 1

Y así sucesivamente.

Números complejos

Originalmente, la necesidad de hallar el valor de raíces cuadradas de números negativos apareció al intentar resolver determinadas ecuaciones de segundo grado. Se sabía que una ecuación del tipo ax² + bx + c tenía dos soluciones que venían dadas por la fórmula:

Resolvamos el siguiente problema: Dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Llamemos x e y a esas dos partes. Sabemos que:

x + y = 10

x·y = 40

Aislando y = 10 – x y sustituyendo en la segunda ecuación se llega a:

x(10 –x) = 10x – x² = 40

Y pasándolo todo al segundo miembro se tiene la ecuación de segundo grado x²– 10x + 40 = 0 cuyas soluciones serán:

Este es uno de los problemas que aparece en la obra Ars Magna de Girolamo Cardano (1501-1576) publicada en 1545. Cardano estudia los dos números que ha obtenido como solución  y , consciente de que son números complicados, complejos, y observa que la suma es 10 y el producto 40 y que por tanto son, a pesar de “las torturas mentales que ellos implican”, soluciones de la ecuación propuesta.

Las raíces complejas aparecían con frecuencia como soluciones en multitud de problemas (recordemos que cuando se habla de las raíces de una ecuación se está haciendo referencia a las posibles soluciones de la misma). Estaban ahí e incomodaban a los matemáticos que, en ningún caso, las consideraban como números. El mismo Descartes afirmaba refiriéndose a ellas: “Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre reales, a veces son imaginarias”, con lo que acuñó uno de los términos que se utilizarían desde entonces para referirse a este tipo de raíces: imaginarias. E imaginarios serían pues los números que representaban.

Desde que Cardano hiciera sus primeros escarceos con los números imaginarios hasta principios del siglo XVIII los matemáticos trataron de evitar cualquier encuentro con unos números de cuya existencia dudaban seriamente. Matemáticos de la talla de Euler, Wallis o D’Alembert se enfrentaron a ellos con mayor o menor éxito. Los números complejos empezaron a mostrarse útiles en determinados contextos, especialmente los pasos intermedios de algunas demostraciones. Un espaldarazo importante lo tuvieron cuando Gauss los utilizó en 1799 para su demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. Y en pleno siglo XIX tendrían su implantación casi definitiva cuando se introdujeron las funciones complejas, funciones f(x) en las que la variable x es un número complejo.

La aritmética de los números complejos

Un número imaginario como  se puede escribir también de la forma  , y ya que hemos llamado i a la raíz cuadrada de -1 podemos poner:

De modo que todo número complejo se puede escribir de la forma a + bi, llamada forma binómica de los números complejos, en la que “a” es la parte real y “b” la parte imaginaria del mismo. Por ejemplo, el número  se puede poner como 2 + 3i, siendo 2 la parte real y 3 la parte imaginaria. Cuando un número complejo no tiene parte real, como 2i, se dice que es imaginario puro. La suma y resta de números complejos es muy sencilla y se lleva a cabo de la siguiente forma: “La suma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales de cada uno de los números y cuya parte imaginaria es la suma correspondiente de las partes imaginarias”. Por ejemplo:

(3 + 2i) + (8 – 3i) = 11 – i

Para la resta, se sigue una regla análoga. Para la multiplicación se pueden poner uno debajo del otro y efectuar una multiplicación normal y corriente como lo haríamos con números cualesquiera:

(3 + 2i) · (8 – 3i) = 24 – 9i + 16i – 6i² = 24 + 7i – 6i²

Ahora únicamente debemos tener en cuenta que, según vimos anteriormente, i² = -1, por lo que el resultado definitivo será:

(3 + 2i) · (8 – 3i) = 30 + 7i

La división de números complejos es algo más delicada y tenemos que abordarla conociendo algunos pasos previos. En primer lugar, veamos cómo podemos manejarnos con un número imaginario tal como 1/i. Sabemos que una fracción o quebrado no cambia si multiplicamos el numerador y denominador por un mismo número. Hagamos esta operación multiplicando la fracción anterior por –i:

Con lo que hemos conseguido quitar el número i del denominador, que es el objetivo fundamental que perseguiremos cuando queramos dividir entre sí dos números complejos. Hay una manera de conseguirlo muy sencilla. Supongamos que queremos hacer la siguiente división:

Lo que deberemos hacer es multiplicar numerador y denominador por el número 5 – 2i, es decir, por el mismo número complejo que aparece en el denominador, pero cambiando el signo de la parte imaginaria:

Dado un número complejo cualquiera a + bi, se define el complejo conjugado de éste como el número complejo que tiene la misma parte real, pero la parte imaginaria con el signo cambiado. De forma que el número complejo conjugado de a + bi será a – bi. Según esta última definición la regla para dividir números complejos es la siguiente: “Para dividir entre sí dos números complejos basta con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el complejo conjugado del denominador”.

Siempre que un número complejo se multiplica por el complejo conjugado se obtiene un número real:

(a +ib)·(a – ib) = a² –b²

Este es un hecho que trajo de cabeza a los matemáticos durante mucho tiempo ya que se trataba de una operación simple que podía llevarse a cabo fácilmente con las soluciones de los problemas que se planteaban. Por ejemplo, en el problema de Cardano que hemos visto antes, la multiplicación de las soluciones y lleva al número 5² – 15² = 200. Lo que significaba que había alguna forma de reducir estos extraños números imaginarios a números reales.

Un par ordenado

A pesar de que se puedan definir las operaciones básicas entre números complejos, gracias a que tenemos definidos y algebraicamente estructurados la pareja de números reales a y b que los forman, los números complejos no podían ser consideramos como números en el sentido literal del término. El problema era el signo + que aparecía en la expresión a + bi. El matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) fue el primero en poner de manifiesto y sin ambages que no se trataba de una suma real, ya que no tenía ningún sentido sumar, por ejemplo 2 y 3i en la expresión 2 + 3i, siendo ésta una expresión que había surgido a través de un proceso histórico, pero que era carente de un significado matemático preciso. Hamilton estableció entonces un concepto mucho más riguroso al introducir la idea de par ordenado en su artículo Algebra as the Science of Pure Time (El álgebra como la ciencia del tiempo puro), aparecido en 1834. Definió el número complejo a + bi como una pareja ordenada de números reales (a, b).  Luego definió así mismo las operaciones elementales entre dos pares ordenados cualesquiera (a, b) y (c, d) de la siguiente forma:

Que no es más que una generalización y una formalización de las reglas para las operaciones básicas entre complejos que hemos descrito en el ejemplo del apartado anterior. Con estas definiciones se puede comprobar, aunque no lo haremos aquí, que se cumplen las reglas habituales de asociatividad, distributividad y conmuntatividad que caracterizan a las operaciones entre números.

Esta forma de representar a los números complejos no sólo consiguió fundamentarlos formalmente sobre la base de los números reales, sino que además consiguió evitar la incómoda presencia de la expresión .

Representación de números complejos

La representación geométrica de los números complejos ha tenido una larga trayectoria histórica. Varios matemáticos, entre los que cabría destacar a Euler, De Moivre o Vandermonde, ya se habían planteado la posibilidad de imaginar un número complejo x + yi como un punto del plano de coordenadas (x, y). Pero se debe al trabajo de Jean Robert Argand (1768-1882), un contable aficionado a las Matemáticas, cuya única aportación fue un breve estudio sobre la representación geométrica de números complejos; y a los planteamientos de Gauss, que determinó la naturaleza geométrica de los números complejos tal y como la conocemos y manejamos hoy en día. De hecho Gauss fue quien introdujo el símbolo i para representar  y era de la opinión de que a 1, -1, no se les debía llamar unidades positiva, negativa e imaginaria, sino directa, inversa y lateral. De esta forma la aceptación de los números imaginarios hubiera sido más rápida, al desproveerles de su aire de misterio. También fue quién, siguiendo el mismo criterio introdujo el término número complejo para sustituir al de número imaginario.

Tomemos en el plano unos ejes de coordenadas rectangulares. Al eje OX le llamamos eje real, que es en donde situaremos la parte real del número complejo, a la derecha si es positivo y a la izquierda si es negativo. Al eje vertical OY le llamaremos eje imaginario y en él localizaremos la parte imaginaria del número complejo, en la parte superior si es positivo y en la inferior si es negativo. Así, para representar el número complejo 2 + i (NI-1) tomaremos dos unidades en la parte positiva del eje OX y una unidad en la parte superior del eje OY. La distancia OA la podemos calcular aplicando el teorema de Pitágoras (NI-2), siendo (OA)²= 1² + 2² = 1 + 4 = 5, con lo que , cantidad que recibe el nombre de módulo del número complejo. Si consideramos ahora el ángulo “a” que forma OP con el eje OX, tendremos lo que se llama el argumento del número complejo 2 + i.

Está claro que si conocemos el módulo r y el argumento Φ de un número complejo, éste queda completamente determinado, escribiéndose entonces r_Φ, expresión conocida como módulo-argumental. Por otro lado se tiene que:

sen Φ = b/r ; b = r·sen Φ

cos Φ = a/r ; a = r·cos Φ

a + ib = r·cos Φ + i r·sen Φ = r(cos Φ + isen Φ)

Estas fórmulas nos permiten pasar de la forma binómica al módulo argumental y viceversa.

Well, Papa can you multiply triplets?

Los matemáticos tenían una clara conciencia de que cuando utilizaban la expresión a + ib y la representaban en el plano de Argand-Gauss estaban manejando un vector de componentes (a, b). Éstos se podían sumar, restar y multiplicar por un número. De hecho, varios números complejos podían representar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y de las que se podía, mediante sencillas operaciones algebraicas, encontrar la resultante. El problema era que todo este esquema se derrumbaba en el momento de pasar a un espacio de tres dimensiones, en el que los números complejos, como representación geométrica, perdían su sentido. Hamilton, que con los pares ordenados ya había encontrado una forma clara de precisar la naturaleza de los números complejos, se sumergió en la empresa de encontrar la manera de ampliar el esquema a un espacio de tres dimensiones. Sin embargo, las ternas (o tripletes) de números se resistían a cumplir los requisitos exigidos a las operaciones básicas de sumas y productos, como la propiedad asociativa o la distributiva. Esta fue una larga búsqueda que a Hamilton le llevó más de diez años. Cuando por las mañanas se encontraba a su hija Helen, ésta solía preguntarle, no sin cierta sorna “Qué, papá ¿ya has conseguido multiplicar los tripletes?”

Un día, paseando con su mujer en las cercanías de Dublín, concretamente a la altura del puente de Brougman, Hamilton se detuvo en seco como si hubiera pisado un cable de alta tensión. Según sus propias palabras: “…ahí cerré el circuito galvánico de mi pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k…” Esto sucedía un 16 de octubre de 1843. Hamilton se había dado cuenta de que no eran tres, sino cuatro los números que hacían falta para describir el comportamiento espacial de un número complejo. Habían nacido los cuaterniones o números hipercomplejos de Hamilton, como también se les llama. Hamilton no tardó ni un instante en sacar la pequeña libreta que siempre llevaba en el bolsillo para escribir en ella la forma en que estos números iban a multiplicarse. En algunas biografías se comenta que en aquella ocasión Hamilton no llevaba ninguna libreta y que todavía pueden verse grabados los cuaterniones en las piedras del puente Brougman.

Números hipercomplejos

De la misma forma que los números complejos son una extensión de los reales al añadirles la unidad imaginaria i, los hipercomplejos o cuaterniones son una extensión muy parecida pero añadiendo tres unidades imaginarias i, j, k de forma que i² = j² = k² = i·j·k = -1.

Las reglas para la multiplicación de estas unidades se resumen en la siguiente tabla:

Un número hipercomplejo es aquel que se expresa como Q = a +bi + cj + dk, en donde a, b, c, y d son números reales. Se dice que un cuaternión es imaginario puro cuando a = 0. La multiplicación de estos números no cumple la ley conmutativa, lo que supuso un hito en la creación de álgebras de números diferentes a las conocidas. Hamilton trabajó durante 22 años en estos números, publicando una obra póstuma en