Los números son la base de la Ciencia Matemática y algunos de ellos, como π o e, han alcanzado un protagonismo tan sobresaliente que multitud de teorías importantes han gravitado en torno a ellos.
Las Matemáticas son una ciencia que está regida por la lógica. Sin embargo, no puede decirse lo mismo de su desarrollo histórico, que, en cierta forma, ha sido sincopado y sin un guión lineal, con avances espectaculares y “parones” históricos sorprendentes. Quizás los grandes testigos de todos estos procesos hayan sido los números y, más concretamente, la naturaleza de algunos de ellos. Ya a principios del siglo XVIII eran conocidos los números enteros, fraccionarios, irracionales, los negativos y los complejos; lo cual no quiere decir que estuvieran bien definidos e incluso ni siquiera que fueran aceptados por todo el mundo. Algunos de ellos han marcado hitos importantes, bien sea porque han significado una ruptura o porque se han resistido a su clasificación durante siglos.
Números prohibidos
La mayoría de los diferentes tipos de números no sólo no tenían una definición precisa o una estructura matemática sólida en la que apoyarse, sino que ni siquiera eran aceptados por la comunidad matemática. Morris Kline pone un ejemplo en su Historia de las Matemáticas que ilustra este hecho en una época tan tardía de la historia como 1831, en que De Morgan se niega a aceptar números negativos como solución de la siguiente ecuación:
“Si un padre tiene 56 años y su hijo 29 ¿Cuándo la edad del padre doblará a la de su hijo?” Si llamamos a x el tiempo que ha de pasar para que esto suceda, se tiene que
56 + x = 2(29 + x).
Ecuación que da como solución x = -2, lo que quiere decir que cuando el padre tenía 54 años, el hijo tenía 27, momento en que se cumplían las condiciones del enunciado.
De Morgan considera que esta solución es completamente falsa y que el error proviene de considerar números menores que cero. A partir de aquí monta una serie de complejos artificios que le permitan llegar, cómo no, al mismo resultado.
y los irracionales
La aparición de los números irracionales en la historia de las Matemáticas forma parte de una de sus mayores crisis. Su nombre, irracional, ya es significativo de un cierto conflicto mental. Supuso una crisis porque su aceptación conllevaba un cambio en la visión del mundo que entonces se tenía, especialmente por los matemáticos que, en aquella época, eran ante todo geómetras. El mundo de las fracciones había sido integrado perfectamente en el de los números enteros, en el de las medidas perfectas. Que una magnitud valiera
no significaba un problema. Bastaba con dividir la unidad en cuatro partes y tomar tres. Todas estas operaciones se podían hacer con regla y compás y tampoco representaban problema las raíces cuadradas, mientras se tratara de cuadrados perfectos.
Pero no sucedía lo mismo cuando el resultado no era una raíz exacta. Es en este contexto que pasa a ser un número emblemático en la historia de las Matemáticas, como símbolo de la inconmensurabilidad, de lo que ya no es medible mediante una regla y un compás.
Los números irracionales habían hecho su aparición en escena.
Actualmente se define un número racional como aquel que se puede expresar como cociente de dos enteros, como 
, 
o 6 ( 6 = 
). Y se define un número irracional como aquel que no es racional, es decir, que no se puede expresar como cociente de dos enteros.
Un signo inequívoco que identifica a un número racional es su expresión decimal. Los enteros carecen de ella y los fraccionarios tienen una expresión decimal muy concreta: o bien es finita como en 
, o bien, es infinita como en 
Pero en este último caso hay que esperar siempre, antes o después, la aparición de un período como en el caso de:
…
en la que aparece un período de longitud de trece formado por las cifras 7721518987341
Hay que tener en cuenta que el periodo puede ser tan largo como se pueda imaginar y por tanto muy difícil de encontrar, por lo que el decidir si un número es o no irracional no es siempre una tarea fácil. Es más, puede llegar a ser un problema realmente difícil.
Fracciones continuas
Bombelli fue el primero en utilizar las llamadas fracciones continuas para aproximar números irracionales, concretamente para aproximar raíces cuadradas. Mediante este método se llega a expresiones del tipo
En función del número de términos que se calculen de la expresión, se van obteniendo aproximaciones decimales de
Dos números trascendentales
3,1415926535897932384626433832795…
2,7182818284 5904523536 0287471352…
Estos dos números, en los que tan sólo figura una pequeña parte de su expresión decimal, son probablemente los más emblemáticos de las Matemáticas. Encierran conceptos complejos y profundos, y son los típicos candidatos a figurar inscritos en algún tipo de sofisticado soporte de los que se envían al espacio para testimoniar lo avanzada que se encuentra la cultura humana.
El primero de ellos, el número π, es el más antiguo de los dos. Sus primeros cálculos, aunque con una muy mala aproximación, se remontan a la Biblia. Es un número que, a diferencia del segundo, tiene orígenes claramente geométricos, ya que surgió de la medida de una figura, concretamente de la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número mítico sobre el que se han escrito mucho y su importancia en la historia de las Matemáticas radica, en gran parte, en que es protagonista casi absoluto de las construcciones con regla y compás, concretamente de la famosa cuadratura del círculo.
Originalmente, la penosa tarea del cálculo de sus cifras decimales se basaba en métodos puramente geométricos, a base de acotar el valor del perímetro de la circunferencia mediante polígonos regulares, inscritos y circunscritos, cuyo perímetro sí era conocido. Su introducción en el mundo puramente aritmético fue gracias a dos fórmulas. La primera:
debida a Wallis (1616-1703) y la segunda:
debida a J. Gregory (1638-1675). No suponía un método de cálculo excepcional, ya que la serie converge muy lentamente, pero sí diferente. El cálculo del mayor número posible de cifras decimales se hacía necesario en aquella época, ya que se buscaba un posible período, por muy lejano que estuviera, que permitiera clasificarlo como número racional. Pero no sería hasta 1761 que Lambert (1728-1777) demostraría la irracionalidad de Pi. La naturaleza de Pi se había determinado, pero todavía debería afinarse más, para que pudiera resolverse definitivamente el problema de la cuadratura del círculo.
Un ejemplo de la desesperante lentitud con que convergen algunas series lo tenemos en la de Leibniz
en la que necesario calcular cerca de 100 000 términos para obtener el valor de π con una aproximación similar a la que obtuvo Arquímedes.
El segundo de los números es mucho más advenedizo y ha sido arrinconado muchas veces en la historia de las Matemáticas. El número e nació entre los papeles de Napier (1550-1617), el matemático escocés que inventó los logaritmos. Su aparición se remonta, pues, a 1614, fecha en que publicó sus Mirifici logarithmorum canonis descritio (“Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”), obra en la que, aunque no lo menciona explícitamente como número e (ni siquiera como base de los logaritmos), será el número en el que se apoyarán los llamados logaritmos neperianos o naturales.
Napier buscaba lo que actualmente se conoce como una base de logaritmos, para lo cual necesitaba de un número cuyas potencias enteras fueran números muy próximos unos a otros. Empezó trabajando con
1 -10-7 = 0, 9999999
pero las potencias le salían excesivamente cercanas unas a otras, por lo que decidió, después de algunas pruebas, utilizar el número
con lo que el número 
había adquirido una de sus primeras configuraciones.
La siguiente aparición, también algo tímida, del número e tuvo lugar en 1661, cuando Huygens estableció una primera relación entre los logaritmos y el área de una parábola rectangular, encontrando que el valor de la misma entre uno y e era precisamente igual a uno. Por esas mismas fecha se introdujo la función exponencial y = kax, que permitió calcular las 17 primeras cifras decimales del número e. Sin embargo, por esas fechas se trataba de un simple número, sin identidad bien definida. El descubrimiento como tal de dicho número, es decir, cuando pudo empezar a tener una definición matemática, vino de mano de la contabilidad cuando, en 1668, Jacob Bernoulli abordó el problema del interés compuesto y trató de encontrar cual podía ser el límite de
al tender n a infinito, proporcionando así una primera definición de e en la que intervenía el concepto de límite:
y determinando que su valor debía encontrarse entre dos y tres.
No se volvería a mencionar este número hasta que Leibniz se refiere a él, llamándolo b, en una carta que dirige a Huygens en 1690.
Fue Euler quien le dio por fin identidad matemática al número e. A él se debe que se le designara con esta letra (probablemente por ser la inicial de “exponencial”) y los primeros resultados importantes, tal como la expresión en la serie:
consiguiendo calcular sus primeros 18 decimales. También Euler encuentra dos expresiones importantes en forma de fracción continua:
Mediante este tipo de desarrollos consiguió probar que e no es un número racional.
La carrera para el cálculo de cifras decimales del número e ha sido similar a la del número π. El último cálculo que se hizo a mano, fue el de Boorman en 1884, que calculó 346 dígitos. A partir de entonces todos los sucesivos cálculos, que supusieron un record, se llevaron a cabo mediante calculadoras.
Algebraicos y trascendentes
Se dice que un numero x es algebraico cuando es raíz (solución) de una ecuación polinómica a coeficientes enteros. Aclaremos algunas cosas para hacer más inteligible esta definición. Una ecuación polinómica no es más que un polinomio igualado a cero, como por ejemplo
3x2 + 5x -1 = 0
en donde 3, 5 y -1 son los coeficientes.
es también una ecuación polinómica, pero el primer coeficiente no es un número entero.
Según la definición que hemos dado, el número 3 es un número algebraico ya que es solución de la ecuación
x – 3 = 0
Está claro que cualquier número racional es un número algebraico, ya que siempre es posible construir una ecuación polinómica de la que dicho número sea una solución.
es también un número algebraico, ya que es solución de
x2 -2 = 0
Números trascendentes
Cuando un número no es algebraico se dice que es “trascendente”, término acuñado por Euler y que significa que el cálculo de dicho número “trasciende”, de alguna forma, las operaciones habituales. Hemos visto que, en algunos casos, demostrar la irracionalidad de ciertos números era un asunto complicado. Demostrar que un número es trascendente lo es todavía mucho más.
El matemático francés J. Liouville (1809-1882) demostró la existencia de números trascendentes y encontró un método para generar algunos casos particulares de números trascendentes. El primer número que tuvo el honor de figurar en esta corta lista fue L (numero de Liouville) un número un tanto rebuscado que se define como un cero seguido de una coma y de ceros en cualquier posición, excepto en las k! que tienen un 1. O sea que hay “unos” sólo en las posiciones 1, 2, 6, 24, 120,720,…. El número en cuestión tiene este aspecto:
L = 0,1100010000000000000000010000…
En 1873, Hermite, discípulo de Liouville, probó que e no era un número algebraico, tarea en la que había fracasado anteriormente el mismo Euler. Demostrar la trascendencia de e, le supuso tal esfuerzo a Hermite que no se vio con ánimos de emprender la misma tarea para el número 
, lo que manifestó en una carta que escribió a Carl Wilhelm Borchardt (1817-80): “No me he atrevido a intentar la demostración de la transcendencia de . Si otros lo intentan nadie será más feliz que yo, pero créeme, mi querido amigo, no dejará de costarles algunos esfuerzos”.
La demostración de la trascendencia del número tardó algo más de tiempo. La consiguió Lindemann en 1882 y marcó un hito en la historia de las Matemáticas, ya que como consecuencia quedó demostrada la imposibilidad de la cuadratura del círculo.
Se ha demostrado que son números trascendentes e, π, eπ, 
, sen(1), ln2, 
, y algunos otros, pero actualmente quedan cuestiones abiertas importantes, como saber si son trascendentes números como 
, 
o 
. Se ha demostrado, por ejemplo, que al menos uno de los dos números (probablemente los dos) πe y π + e deben ser trascendentes, pero no se ha conseguido probar la trascendencia individual de cada uno de ellos.
Una cuestión paradójica.
Tal parecería que los números trascendentes escasean como especies protegidas en un zoológico. En el infinito conjunto de los números reales tenemos, por un lado, los números racionales, que son todos algebraicos, y por otro los irracionales, entre los cuales nos las vemos y deseamos para encontrar y demostrar cuales de ellos son trascendentes. Pero las cosas no son así. En realidad los números trascendentes no sólo abundan mucho, sino que además están en mayoría. Para ser precisos hay más números trascendentes que algebraicos.
Cantor, dando muestras de una genialidad asombrosa (él mismo llegó a asombrarse de sus propios resultados) demostró con absoluta sencillez la existencia de infinitos números trascendentes. Por un lado sabía que el conjunto de los números reales no es numerable. Recordemos que un conjunto es numerable cuando se pueden contar sus elementos asignándoles números naturales 1, 2, 3,…de manera única. Por otro lado había demostrado que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable. De ambas proposiciones se deduce de forma inmediata la existencia de números que no sean algebraicos. Cantor demostró además que dicho conjunto no era numerable.
Un record casero
Actualmente, mediante la implementación de algoritmos especiales, es posible obtener una cantidad monstruosa de cifras decimales, tanto para π como para el número e. Es conocida la carrera desenfrenada que existe para alcanzar records que se van superando conforme avanzan máquinas y programas. Lo que ya no es tan conocido es la existencia de una competición “casera” que se logra gracias a la aparición de programas que pueden correr en el ordenador personal que tenemos encima de la mesa y con el que se puede conseguir la asombrosa cifra de 128 millones de dígitos del número π en menos de 15 minutos.
Actualmente el record para Pi, con un ordenador personal, está en 25.000.000.000 de cifras decimales, conseguido por Shigeru Kondo con un Pentium 4 a 3.2 Ghz en 17 días y 14 horas (el 7 de marzo de 2003). Y el record para el número e está en 50.100.000.000 dígitos (4 de setiembre de 2003), con un ordenador personal de las mismas características. Si alguien siente deseos irrefrenables de llenar su disco duro con dígitos tan memorables, no tiene más que descargarse el programa PiFast de Internet en http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/pifast.html y ponerse manos a la obra. Hay que tener, eso sí, la precaución de comprar un buen ventilador, pues su procesador puede llegar a sacar humo (literalmente).
El número del caos
Hay un número que actualmente debe entrar en la lista de números memorables, pero sobre todo debe entrar en la de los que enviamos al espacio para declarar nuestro nivel de conocimiento científico, ya que tiene la categoría de una constante matemática natural, como lo puedan ser π o e. Se trata del número:
llamado constante de Feigenbaum. El contexto en el que surge este número sería largo y demasiado complejo para explicarlo aquí, pero mencionemos, aunque sea de pasada, que puede ser interpretado como un factor de escala en la formación de fractales cuando éstos se forman mediante dinámicas caóticas. No es exactamente así, pero si imaginamos una planta como estructura fractal, de manera que en cada una de sus ramificaciones se repita la forma global de la planta, el factor de escala que nos permitiría pasar de una a otra sería precisamente dicho número.
