El estudio de los sistemas caóticos es tema de gran interés, tanto para las ciencias puras como para las aplicadas, y ejerce un intenso poder de fascinación que va más allá del ámbito meramente profesional, especialmente cuando se ha puesto de manifiesto que en la naturaleza, el caos no es la excepción, sino la regla.
El Caos ha estado asociado desde siempre o con el mal o con el desorden. Un sistema caótico es, por tanto, algo que no podemos controlar, no porque desconozcamos sus leyes, sino porque carece de ellas. Pero lo que actualmente se entiende en Matemáticas por sistema caótico dista mucho de tener estos atributos, en especial a lo que a las leyes se refiere. Los sistemas caóticos están rígidamente sometidos a las leyes de la naturaleza y, en este sentido, son totalmente deterministas, lo que traducido al lenguaje vulgar significa que no pueden hacer lo que quieren, sino lo que pueden. El problema es que lo hacen de una forma tan compleja que escapan al poder de predicción que hasta ahora nos habían posibilitado unas cuantas y sofisticadas ecuaciones matemáticas. Sólo en ese sentido es impredecible y aleatorio. Simplificando, se podría decir que los sistemas caóticos se caracterizan fundamentalmente porque son simples, sensibles y deterministas. Son simples en cuanto al tipo de funciones que los describen, aunque sus resultados puedan ser espectacularmente complejos. Son sensibles a las condiciones iniciales, ya que un pequeño cambio en éstas lo convierten en un sistema totalmente impredecible. Y deterministas porque siguen unas pautas, las reglas que marcan las funciones que los definen.
El péndulo doble
No es difícil construirse un péndulo casero, basta con un pie, un eje y un brazo que pueda oscilar a uno y otro lado con un cierto equilibrio. Con este sencillo aparato podemos experimentar lo que sucede cuando hacemos oscilar el péndulo. Se trata de elevarlo hasta una determinada altura, para luego dejarlo ir y observar el movimiento. Debido al rozamiento, el péndulo, en su camino de vuelta, no se elevará exactamente hasta el mismo punto en que lo dejamos caer, sino un poco más abajo. Si repetimos el experimento varias veces, procurando tener cuidado de elevar siempre el péndulo hasta la misma altura, lo que observaremos puede empezar a parecernos aburrido al cabo de muy poco rato. Básicamente porque lo que va a suceder es altamente predecible. Está claro que, por mucho que nos esmeremos, nunca dejaremos caer el péndulo exactamente desde el mismo punto en que lo hicimos la vez anterior, pero no importa, esta pequeña variación en las condiciones iniciales del experimento a penas tendrán efectos perceptibles.
Cambiemos ahora la forma del péndulo y construyamos lo que se llama un péndulo doble, algo muy sencillo de hacer con unas pocas piezas de mecano. Repitamos el experimento. Elevemos el péndulo hasta una cierta altura y dejémoslo caer. Lo primero que nos va a sorprender es el movimiento que sigue este nuevo péndulo, que no se parece en nada al armonioso vaivén del anterior. Es un movimiento algo raro, sincopado y errático.
Es, en definitiva, un movimiento caótico. Aunque todo esto no es lo que en realidad caracteriza un movimiento caótico, ya que tan sólo se trata de una percepción personal. Quizás alguna exótica especie de insecto quedaría extasiada al contemplar en este movimiento una oculta armonía que a nosotros se nos escapa. El quid de la cuestión está en otro sitio. Sería interesante filmar su movimiento en una película de video y repetir el experimento que hicimos antes con el péndulo simple, volviendo a colocarlo en la misma posición inicial. Esta vez lo podemos hacer con precisión de relojero. Incluso podemos medir la temperatura y humedad reinante de la habitación, y repetir el experimento a la misma hora. El movimiento que va a seguir el péndulo es absolutamente impredecible. La nueva película de video no se parecerá en nada a la anterior, ya que la más ínfima variación en las condiciones iniciales tiene repercusiones espectaculares en el comportamiento del sistema. Este hecho por si solo no caracteriza a un sistema caótico, pero todos los sistemas caóticos tienen esta propiedad. En ella se basa el tan nombrado “efecto mariposa”, relativo a los sistemas caóticos que rigen la climatología. Según este postulado, el pequeño aleteo de una mariposa en algún lugar del mundo puede desencadenar un ciclón en otro lugar situado a miles de kilómetros de éste, siempre debido a esa ínfima variación en las condiciones iniciales del sistema.
Una interesante aplicación práctica de las teorías del caos se da en el análisis acústico. Imaginemos que queremos grabar una conversación entre dos personas que se encuentran en la habitación de un viejo hotel y que el ruido del aire acondicionado se mezcla con la conversación, impidiéndonos entender lo que dicen. Una vez en el laboratorio con la grabación, consideramos que el aire acondicionado es el sonido y la conversación un ruido que queremos eliminar. El ruido que produce el aire acondicionado es un buen ejemplo de sistema caótico producido por una electrónica lineal. Como conocemos sus leyes podemos identificarlo y eliminar todo lo que no es este sonido, es decir la conversación. Si ahora volvemos al conjunto sonoro original, nos bastará con suprimir este paquete identificado y nos quedará, nítido, el sonido de la conversación.
En el ámbito de la anatomía, el corazón humano es un sistema que presenta comportamientos caóticos. Esto, según parece, es un arma de doble filo, ya que por un lado permite la suficiente flexibilidad como para que recupere su estado normal de funcionamiento después de una alteración (un susto, por ejemplo), pero por otro, desencadenar arritmias que acaben en fibrilaciones y parada cardiaca.
Las teorías del caos tienen también su lado aplicado. Por ejemplo, una máquina mezcladora, como las que mezclan pinturas, se diseña de forma que tenga un comportamiento caótico. De esta forma se aseguran de que no quedan zonas muertas en la mezcla.
Atractores
A pesar de lo impredecible que es un movimiento caótico, hemos visto que está originado por leyes deterministas, es decir, que el movimiento puede hacer lo que quiera, pero dentro de un cierto orden. Esto tiene como consecuencia el que existan unas ciertas zonas en las que el movimiento queda confinado. En el interior de estas zonas, que reciben el nombre de atractores, hay una fuerte inestabilidad y en ellas sigue reinando la situación caótica, pero sin embargo, es predecible el confinamiento de la partícula dentro de sus fronteras. Esta es la imagen típica de un atractor, en las que se puede ver la maraña que forman las trayectorias. A pesar de lo enrevesado de las estructura, ninguna situación se repite, ya que estas curvas no se cortan nunca a si mismas, pero sin embargo, el movimiento queda confinado dentro del atractor
El matemático inglés Ian Stewart, propuso un ingenioso ejemplo para comprender la naturaleza de un atractor. Imaginemos una pelota de ping-pong sumergida a cierta profundidad en un mar embravecido En el momento de soltarla, la pelota asciende a la superficie. Si la rebasa, la atracción gravitatoria la obligará a posarse de nuevo en la superficie del agua. En el movimiento de ascensión la pelota puede verse sometida a todo tipo de corrientes marinas que la desvíen de su trayectoria. Una vez haya salido del agua, el movimiento de descenso también se puede ver perturbado por corrientes de aire. En definitiva, la trayectoria de ascenso y descenso no va a ser rectilínea, va a tener mucho de impredecible, pero estamos seguros de cómo va a acabar: en la superficie del agua, porque ésta es un atractor. Esto no quiere decir que, una vez en el atractor, la pelota inicie un movimiento predecible, puesto que seguirá en estado caótico, yendo de un lado para otro a merced del viento y el oleaje, pero no se saldrá del atractor, que es la superficie del agua. En comparación con el tamaño de la pelota, la superficie del mar es un atractor de dimensiones colosales. Esto en la realidad no suele ser así y las superficies de confinamiento son mucho más reducidas.
El atractor de Lorenz, metereólogo que estableció en 1963 la naturaleza caótica del tiempo atmosférico, se ha convertido en el símbolo por excelencia, casi como un anagrama, de todo aquello que tenga relación con el caos. Su forma recuerda a las alas de una mariposa.
Atractor extraño
Se podría decir que los atractores representan, de alguna forma, la geometría del caos. En general, hay tres tipos de atractores: el “punto”, la “circunferencia” y el “toro” (una figura en forma de rosquilla). O sea que las trayectorias de las partículas acaban por confinarse en alguna de estas tres formas geométricas, que son las que, en las teorías del caos, reciben el nombre de atractores clásicos. Pero hay sistemas que presentan un tipo diferente de atractor que no es clasificable en figuras tan simples como las anteriores y que los topólogos bautizaron, en su momento, con el nombre de “atractor extraño”. La diferencia entre un atractor clásico y uno extraño es que el segundo es un fractal y el primero no. Recordemos que un fractal es una estructura que goza de la propiedad de autosimilitud, es decir, que cuando hacemos la ampliación de alguna de sus partes, se vuelve a repetir la estructura global. Algo que no sucede, por ejemplo, en una circunferencia: si tomamos un segmento cualquiera de la misma y lo vamos ampliando llegará un momento en que se parecerá más a un segmento recto que a uno curvo.
Loa atractores extraños se descubrieron cuando, para resolver ecuaciones diferenciales complicadas, empezaron a utilizarse soluciones numéricas obtenidas por ordenador. Aparecieron de forma tan inesperada que cuando Lorenz se encontró con el primer atractor extraño pensó, en un primer momento, que su ordenador se había estropeado. Con el tiempo se ha visto que los atractores extraños no tienen nada de extraños, en el sentido de que son los que se dan con más frecuencia en la naturaleza. Por este motivo, se les ha empezado a llamar “atractores fractales”.
El descubrimiento de los atractores despertó un gran interés en el mundo científico y es objeto de intensa investigación, no sólo en el campo de las Matemáticas, sino también en el de las ciencias aplicadas. Han dado lugar a una abundante literatura, alguna seria y otra de dudoso valor científico. Hay estudios que plantean la posibilidad de encontrar atractores en los imprevisibles sistemas bursátiles, mientras otros aseguran haber encontrado entre la maraña de números de los últimos 1000 sorteos de la Primitiva un atractor fractal (quizás sería mejor decir fatal). Y es que, como en este último caso, hay mucha gente que confunde los sistemas caóticos con los sistemas puramente aleatorios.
