Las guerras llevan a los pueblos a una situación extrema en la que se ven obligados a hacer uso de todos los recursos posibles: de la física, la química, la economía o de cualquier tipo de tecnología. Y también de las Matemáticas.
La Trigonometría ha sido siempre una herramienta básica para la navegación. Los barcos de guerra navegan y por lo tanto utilizan la trigonometría. De aquí sería absurdo concluir sin más que la trigonometría es una herramienta matemática con fines bélicos. Por otro lado es cierto que muchos de los avances científicos y tecnológicos surgieron como instrumentos para la guerra. Los primeros grandes ordenadores que aparecieron en la historia, como el ENIAC, fueron creados para calcular las trayectorias de misiles balísticos. Internet nació del sistema de comunicaciones ARPA, que fue creado como sistema defensivo ante posibles ataques nucleares, y los sistemas criptográficos que utilizamos hoy en día para proteger nuestra privacidad nacieron de la necesidad de preservar secretos militares. Las Matemáticas son la base en la que se apoyan todas las ciencias y es difícil que no encontremos su huella en cualquiera de estos descubrimientos. Sin embargo es conveniente hacer una distinción entre la utilización con fines bélicos de unas Matemáticas ya existentes y la creación de nuevas técnicas matemáticas con ese único objetivo.
Mesopotamia
Para encontrar un primer vínculo histórico entre guerra y Matemáticas tenemos que remontarnos al año 2075 a. C., cuando el rey sumerio Sulgi decretó un estado de emergencia para afrontar la presión fronteriza que le ejercían los elamitas. Esto llevó a una profunda reforma administrativa, que perduró pasado el período de guerra, según la cual una gran parte de la población se vería obligada a ejercer todo tipo de trabajos. Los escribas que debían controlar esta actividad se vieron obligados a gestionar grandes grupos de trabajo que debían trasportar cubos de tierra a ciertas distancias en determinados lapsos de tiempo. El caso es que tuvieron que efectuar operaciones aritméticas en las que estaban involucrados grandes números, imposibles de llevar a cabo con la aritmética que entonces se utilizaba. Esta situación llevó a cambiar el sistema de numeración por otro más adecuado a las circunstancias. Y así fue como nació el sistema de numeración posicional, un avance absolutamente crucial para el desarrollo de la Aritmética.
Arquímedes
“[...] pero cuando Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas, inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caían con un ruido y violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatían a cuantos les caían a montones, rompiendo toda formación.” Este texto forma parte del relato que Plutarco hace para explicar la intervención de Arquímedes en la defensa de Siracusa ante el asedio de los romanos. También se menciona la construcción de los espejos parabólicos para defender a la ciudad del ataque por mar. Arquímedes conocía la propiedad que tienen las parábolas de concentrar en su foco a los rayos que inciden paralelamente en la parábola. Construyendo un gran espejo que formara parte de una parábola en cuyo foco se encontrara una nave enemiga, podía concentrar en sus velas el calor del sol e incendiarlas.
No es un relato muy verosímil, ya que la tecnología de la época probablemente no estaba capacitada para fabricar este tipo de espejos, pero sería un ejemplo paradigmático de cómo un conocimiento matemático ya existente es utilizado con fines bélicos.
Las trayectorias de los proyectiles
La parábola es, sin duda, la curva matemática que mas estrecha relación ha mantenido con las artes de la guerra. Ya hemos visto el supuesto uso que Arquímedes hizo de las propiedades de esta curva, pero fue en el campo de la artillería que esta cónica tuvo (y todavía tiene) su máximo protagonismo.
En la lucha a campo abierto solía ganar indefectiblemente el más fuerte. Esto llevó a crear barreras defensivas que, con el tiempo, se convertirían en fortalezas frente a las cuales se hacía necesario utilizar otros recursos que no fueran la utilización directa de la fuerza humana. De esta forma nació la artillería, que va desde las primitivas catapultas hasta los más modernos misiles balísticos. Pero cualquier objeto que vaya por el aire está sometido a la fuerza de la gravedad, una fuerza determinante en el tipo de trayectoria que habrá de seguir el proyectil. La Física y las Matemáticas habrían de ser pues decisivas en la definición de dicha trayectoria.
En principio, hay dos formas básicas de lanzar un objeto contundente contra una fortificación: directamente o describiendo una curva. Por ejemplo, una flecha puede ser dirigida directamente a un blanco o bien podemos alzar el arco con un ángulo determinado con intención de salvar un obstáculo. En el primer caso se habla de un tiro tenso y en el segundo de un tiro curvo. Las primitivas catapulta y balista pertenecían al primer género, mientras que el trabuco o los más modernos morteros y obuses, al segundo. Estrictamente hablando, todo tiro es un tiro curvo, lo que ocurre es que en el tiro tenso la curvatura es despreciable. En cualquier caso el reto se planteaba en el tiro curvo. Determinar su trayectoria fue haciéndose cada vez más necesario, sobre todo a medida que, con la aparición de la pólvora, el alcance y la potencia de tiro eran cada vez mejores.
En un principio se trató de una ciencia empírica que se valía de tablas y de curiosos aparatos de medición de muy dudosa utilidad. El primero en establecer los principios científicos de la trayectoria de un proyectil fue Tartaglia (Nicoló Fontana) que publicó sus resultados en la Nova Scientia, obra aparecida en 1537 y desarrollada posteriormente por Galileo. Por entonces se suponía que la trayectoria del proyectil era parabólica y que se podía calcular, con bastante margen de error, el alcance de un proyectil conociendo el impulso y el peso. Pero no sería hasta que Newton estableciera matemáticamente las leyes de la mecánica que dicha trayectoria podría ser definida mediante una ecuación.
Caída libre de cuerpos
Hay que tener en cuenta que una vez un proyectil ha sido disparado, por el medio que sea, la única fuerza que actúa sobre él (si no tenemos en cuenta los efectos del rozamiento del aire) es la debida a la aceleración de la gravedad, lo que da como resultado una fuerza dirigida hacia abajo cuyo valor es mg, siendo m la masa del proyectil y g la aceleración de la gravedad. Si no intervienen otros factores externos, la trayectoria del proyectil se corresponderá con una curva plana, de manera que podemos estudiar el movimiento mediante un par de ejes de coordenadas, que nos permitan descomponerlo en una componente horizontal y otra vertical. Supongamos que al proyectil se le ha imprimido una velocidad inicial v0, con un ángulo de inclinación α:
En cualquier punto de la trayectoria, la velocidad horizontal será constante, ya que el cuerpo no se encuentra sometido a ningún tipo de fuerza en dicha dirección. La componente vertical se regirá por las leyes de la caída libre de cuerpos. De manera que tendremos para la velocidad horizontal vx y la vertical vy las fórmulas:
vx = v0cosα
vy = v0sinα – gt
La resultante de la velocidad será (aplicando el teorema de Pitágoras):
Esto nos permite calcular la ordenada (y) y la abscisa (x) en cualquier instante t del movimiento:
Si eliminamos t entre ambas ecuaciones llegamos a:
Y si tenemos en cuenta que v0, senα, cosα y g son cantidades constantes, la ecuación anterior puede ser expresada en la forma:
y = ax – bx2
Que es, precisamente, la ecuación de una parábola.
A partir de aquí no es difícil calcular cualquiera de los parámetros de la misma, como el alcance o la altura máxima.
Cuando un avión deja caer una bomba esta sale con una velocidad inicial igual a la del avión y describe una trayectoria parabólica hasta llegar al suelo.
Para una velocidad de salida dada (en módulo) el alcance máximo de un proyectil se logra con una inclinación de 45º.
Geometría de la guerra
Los siglos XVIII y XIX fueron especialmente relevantes en lo que a las Matemáticas aplicadas a la guerra se refiere, especialmente en lo que concierne a la Geometría, una parte de las Matemáticas en pleno desarrollo que encontró rápidas y eficientes aplicaciones en la cartografía militar y en el diseño de fortificaciones. Por entonces, la artillería había hecho progresos que no se podían ignorar. El alcance y la potencia de los cañones eran cada vez mayores y sus tiros más precisos. También las armas ligeras, como los fusiles, estaban mejorando sus prestaciones de tiro. La geometría, que había sido una herramienta básica en la construcción civil iba a jugar también su papel en la arquitectura militar. La vieja concepción medieval de muros de contención no servía más que para ofrecer un blanco fácil a la artillería. Ya grandes geómetras del renacimiento, como Giorgo, Brunelleschi, Stevin y el mismo Leonardo da Vinci, habían diseñado polígonos básicos, cuadrados y hexágonos, para definir las plantas de las fortificaciones, polígonos cuyas paredes inclinadas y afilados vértices dificultaban la posibilidad de un impacto directo.
Ingeniería militar española
De la influencia y el uso sistemático de las Matemáticas en estos menesteres da testimonio un tratado de fortificación publicado en España en 1733. Está firmado por Mateo Calabro, un ingeniero militar de gran renombre, que afirmaba que la arquitectura militar era una ciencia, ya que “…sus términos propios y reales, sus principios demostrables y toda su formal perfección tienen sus fundamentos en las Matemáticas, las cuales son ciencias puras y conocidas por sus demostraciones ciertas y verdaderas”. El mismo autor defendía planes de enseñanza en las academias militares en las que debía primar la enseñanza de las Matemáticas. Concretamente en su programa figuraban:
1º La aritmética numérica y literal o álgebra.
2º La geometría especulativa en práctica sobre el terreno, que consiste en trigonometría y usaje de los instrumentos geométricos, longimetría, planimetría y estereotomía.
3º Estática, maquinaria e hidrostática.
4º Artillería.
5º Cosmografía.
6º Arquitectura civil que, según Vitrubio, es la ciencia a quien todas las demás tributan”.
Enfiladas y desenfiladas
El matemático holandés Simon Stevin (1548-1620) publicó en 1594 una obra titulada Arte de la Fortificación, en la que estudiaba la evolución los principios que regían la construcción de fortalezas.
En las construcciones previas a la aparición de la pólvora, la “enfilada”, es decir la dirección que trataba de cubrir el máximo espacio posible para el tiro directo, no presentaba un excesivo problema, ya que las saeteras a través de las que se disparaban mediante arcos o ballestas estaban enclavadas en paredes rectas.
La aparición de la artillería obligó a inclinar las paredes para evitar impactos perpendiculares, lo que a su vez obligaba a que las enfiladas dejaran el mínimo número de espacios muertos (ciegos) posible.
Más adelante, las “esquinas” o torres adquirieron forma circular, muy efectiva para la defensa de los impactos de artillería, pero ineficaz para las enfiladas.
Finalmente la cuestión se resolvió optando por torres poligonales en las que la geometría de las enfiladas era mucho más efectiva. Este modelo de construcción fue el que propuso Stevin y que se mantuvo hasta las guerras napoleónicas.
Si la enfilada era un problema, la “desenfilada” lo era todavía mayor. Desenfilar un recinto consiste en elevarlo de manera tal que no exista la posibilidad de un impacto directo por parte del enemigo. Se trata pues de levantar un muro, teniendo en cuenta los costes y las servidumbres no deseadas que su geometría puede imponer al interior del recinto.
Las desenfiladas se plantean cuando en las zonas próximas a la fortificación existen elevaciones del terreno. En el caso de la construcción sobre un terreno plano, para desenfilar el recinto basta con trazar la tangente al punto más alto de la elevación desde el punto más alejado del recinto. Un muro que tenga la altura marcada por dicha tangente desenfilará el recinto evitando impactos directos en el mismo desde el montículo.
La mayor dificultad geométrica se presentaba cuando la fortificación se encontraba en un terreno accidentado. El matemático francés G. Monge, padre de la Geometría Proyectiva, ideó un ingenioso sistema para desenfilar una fortificación en dichas condiciones. Para ello, se basó en la proyección de un cono imaginario sobre el plano del terreno que tenía vértice en el punto a desenfilar y que se apoyaba en los accidentes del terreno circundante al recinto. Fue un sistema de fortificación que se estuvo empleando hasta la Primera Guerra Mundial, época en la que apareció el búnker.
La importancia de las Matemáticas en la guerra se puso de manifiesto a medida que éstas pasaron a formar parte de las asignaturas claves en la carrera militar, especialmente en la ingeniería. En el transcurso de la Primera Guerra Mundial, con la aparición del sónar y las nuevas teorías de aerodinámica, gran parte de la tecnología estaba pendiente de su desarrollo matemático. Éste llegó a ser tan espectacular que el matemático francés, Émile Picard (1856-1941), catedrático de Cálculo Diferencial en la Sorbona, lanzó una voz de alarma temiendo que los estudiantes de Matemáticas decidieran dedicarse exclusivamente a la Matemática aplicada en un futuro. Una preocupación que el tiempo demostró ser infundada.
La guerra moderna
Los progresos tecnológicos alcanzados en la Segunda Guerra Mundial cambiaron radicalmente el papel que las Matemáticas habrían de jugar en el escenario bélico.
El esfuerzo realizado por el equipo inglés de matemáticos de Bletchley Park, liderado por Alan Turing, que consiguieron descifrar los códigos secretos de la máquina Enigma (utilizada por los alemanes para enviar mensajes a su flota de submarinos) puso sobre la mesa una nueva forma de cálculo numérico (su máquina Colossus, sería la precursora de los modernos ordenadores) que no sólo revolucionó la criptografía, sino que abrió las puertas a una nueva ciencia, la informática.
El proyecto Manhattan, cuya misión secreta en el laboratorio de Los Álamos era crear la primera bomba atómica de la historia, incluyó, entre otros científicos, a matemáticos de la talla de Von Neumann. Estos expertos no sólo iban a aportar sus conocimientos a un proyecto bélico muy concreto, sino que también desarrollarían nuevas Matemáticas. Dichos progresos encontrarían su aplicación en escenarios tan singulares como el de la guerra fría, en el que teorías innovadoras, como la Teoría de Juegos, habrían de jugar un papel fundamental.
Actualmente poco o nada significarán para un profano este conjunto de símbolos:
Un matemático podría ver en ellos algo muy familiar, como un sistema de ecuaciones diferenciales en el que, al parecer, se han establecido unas condiciones iniciales. Lo que difícilmente nadie ajeno al tema podría sospechar es que se trata de uno de los muchos modelos de batalla establecidos por la OTAN, en el que figuran unidades de combate, número de operaciones realizadas en un tiempo t y parámetros similares. Y es que el nivel de complejidad en el que han entrado actualmente las estrategias militares hace de las Matemáticas una herramienta imprescindible. Lo que no es de extrañar si se tiene en cuenta que, además del altísimo nivel tecnológico del armamento en sí, en las guerras intervienen grandes computadores, sofisticadas redes de comunicaciones, constelaciones de satélites de vigilancia, etc. Actualmente ya no se trata de conocer a la perfección las bases de la Geometría o el Cálculo Diferencial, sino que es necesario dominar áreas como la Criptografía, el Cálculo de Probabilidades y la Estadística o la Teoría de Juegos, por mencionar sólo algunas disciplinas.
Apuntes de etimología bélica
Se entiende por arte tormentaria aquella que hace relación a la destreza en la construcción y manejo de maquinaria bélica. Su origen procede del término latino tormentum, palabra que genéricamente designaba a las máquinas que eran utilizadas para el ataque y defensa de fortalezas.
Por otro lado, poliocértica es el arte de sitiar y tomar las plazas fuertes. Poliocertes fue el sobrenombre que por sus destrezas en este campo tenía Demetrio, rey de Macedonia. La etimología de la palabra sugiere la conjunción de los términos polis, ciudad y cerco, encerrar.
Otra denominación curiosa es la de artillero, que proviene de artellairus y ésta a su vez de arts, arte.
