A pesar de la inseguridad metafísica que produce, la idea del infinito parece estar implícita en la naturaleza del ser humano y también, de alguna forma, en su quehacer cotidiano en el momento en que se enfrenta a conjuntos que sabe ilimitados. Pero imaginar y dar cuerpo a números transfinitos es, sino una tarea propia de dioses, sí uno de los mayores logros de la historia del pensamiento humano.
Los conjuntos infinitos han sido durante siglos un verdadero quebradero de cabeza para los matemáticos, hasta el punto de que muchos han negado su existencia. Entre sus múltiples paradojas está la de que se trata de conjuntos que pueden ser equivalentes a una de sus partes. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales está formado por un conjunto infinito de números.
1, 2, 3, 4, 5,…
La serie anterior se puede continuar hasta el infinito. Intuitivamente cualquiera podría afirmar que, más o menos, la mitad de ellos son pares. Sin embargo no es así. Sorprendentemente hay tantos números pares como números naturales, algo muy sencillo de demostrar estableciendo la siguiente correspondencia entre ambos conjuntos de números:
1 à 2
2 à 4
3 à 6
4 à 8
5 à 10
…
O lo que es lo mismo, dado un número natural cualquiera, al multiplicarlo por dos tenemos su correspondiente número par. Y viceversa, dado cualquier número par podemos obtener su correspondiente número en la serie natural con solo dividirlo por dos, lo que constituye una prueba irrefutable de que hay tantos de unos como de otros.
Un infinito muy denso
¿Son todos los infinitos son iguales? Antes de contestar a esta pregunta es interesante indagar un poco en la naturaleza de los distintos conjuntos infinitos. En este sentido existe una diferencia importante entre, por ejemplo, el conjunto de los números naturales y el de los racionales. Primero aclaremos lo que es un número racional. En lenguaje matemático, un número racional es aquel que se puede obtener como cociente de dos enteros, como por ejemplo:
2/3, 1/5, 8/4, 236/1024,…
Está claro que entre los números racionales se encuentran ubicados también los naturales, ya que:
2 = 2/1 = 4/2 = 8/4 =…
3 = 3/1 = 6/2 = 9/3 =…
…
Sin embargo, hay una diferencia sutil entre los números naturales y los racionales. Los primeros son lo que en Matemáticas se llama un conjunto discreto, a diferencia de los segundos, que son un conjunto denso. Se trata de conceptos sencillos, aunque de importantes consecuencias. Números naturales pueden haber tantos como se quiera, pero entre dos consecutivos no cabe ninguno más, es decir, entre el número natural 453 y el 454 no hay ningún otro número natural. No sucede lo mismo con los números racionales: entre el número a y el número b siempre está , que es también un número racional. Por ejemplo, entre 5,3 y 5,4 se encuentra el número
.
Otra forma de ver el asunto es la siguiente: Dado un número natural cualquiera siempre podemos decir cual es el inmediato posterior. Nadie duda que el número que sigue al 14 es el 15. Pero no se puede decir lo mismo de un número racional. ¿Cuál es el inmediato posterior del número 1/3? Es imposible encontrarlo. En esto radica la densidad del conjunto. El asunto tiene más enjundia de la que parece, porque de la misma forma que se puede afirmar que entre los números naturales 2 y 6 sólo hay otros tres números naturales (el 3, el 4 y el 5), se puede afirmar que entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números. Para ello basta con pensar en los números racionales como números decimales. Por ejemplo, entre 2,3 y 2,4 están los números:
2,31; 2,32; 2,33; 2,34;…
A todas luces parece que el conjunto de los racionales debería ser un infinito mucho más grande que el de los naturales, sin embargo veremos que eso no es así.
Conjuntos numerables
Cuando decimos que una sesión de cine es numerada estamos afirmando que somos capaces de asignar a cada butaca de la sala un número natural. Decimos entonces que el conjunto de butacas que hay en el cine es un conjunto numerable. Está claro que por muy grande que sea un conjunto, mientras sea finito será numerable. Es numerable el conjunto de jugadores que forma un equipo de fútbol, pero también lo es el conjunto de habitantes que hay en la Tierra, el número de hormigas, las estrellas del firmamento o todas las partículas que componen el universo. Todo es cuestión de ponerse a contar. Las cosas se complican cuando empezamos a tratar con conjuntos que poseen un número infinito de elementos. Si afirmamos, por ejemplo, que el conjunto de los números pares es numerable es que somos capaces de hacer corresponder a cada número par un número natural. Antes hemos visto una sencilla forma de hacerlo. Pero si se trata de conjuntos infinitos que además son densos, como hemos visto que sucedía con el de los quebrados, ¿qué pasa? ¿Pueden existir conjuntos densos que sean numerables?
¿Son todos los infinitos iguales?
Hemos visto cómo se podían numerar los pares, que eran un conjunto discreto. Por increíble que pueda parecer, también puede demostrarse, aunque con un artilugio algo más complicado que el anterior, que también se puede numerar el conjunto de los racionales. Esta demostración la llevó a cabo Georg Cantor (1845-1918), que fue también el artífice del concepto de numerabilidad y que se planteó una pregunta de alto riesgo matemático: ¿Son todos los infinitos iguales?. Los números pares, los naturales, los racionales eran todos ellos conjuntos numerables y por tanto tenían el mismo número de elementos. El paso siguiente era contar los números reales.
¿Infinito es mucho o puede ser más?
Los números reales se obtienen cuando al conjunto de los racionales se le añade el de los irracionales, que son números del tipo y que no pueden obtenerse como cociente de dos enteros. También éste es un conjunto infinito y denso. Sin embargo, no se trata de un conjunto numerable como lo eran los dos anteriores, es decir, no se puede establecer ninguna correspondencia con la serie de los números naturales 1,2,3,4,5,…
Cantor se planteó entonces la siguiente cuestión: tenemos conjuntos infinitos que tienen todos el mismo número de elementos, como son los naturales, los números pares o los racionales. Pero de pronto aparece un nuevo conjunto, el de los números reales, que es también infinito, pero que tiene más elementos que los tres anteriores. En este punto, Cantor se introduce por su propia cuenta y riesgo en una de las ideas más revolucionarias de la historia de las Matemáticas: ¿Son todos los infinitos iguales o los hay más grandes y más pequeños? Como punto de partida tiene un infinito, el de los números reales, que es más grande que el de los naturales y el de los racionales. Decide llamar Aleph cero, simbolizado por 
, al número de elementos que hay en el conjunto de los números reales. Habían nacido las Matemáticas del transfinito.
Los números transfinitos
Cantor demuestra que es el número de puntos que hay en un segmento cualquiera de recta. Esto quiere decir que dos segmentos, sea cual sea su tamaño, tienen el mismo número de puntos. Esto puede parecer sorprendente, pero la demostración es muy sencilla.
Dados los dos segmentos 1 y 2, se unen sus extremos mediante sendas rectas que se cortarán en un punto A. A cualquier punto p del segmento 1 le podemos hacer corresponder un punto q del segmento 2, para ello basta con unir el punto q con el punto A, de modo que el punto en donde dicha recta corta al segmento 2 es el punto q buscado. Una vez visto que todos los segmentos tienen el mismo número de puntos, , Cantor toma uno de esos segmentos y construye con él un cuadrado. En principio, el número de puntos contenido en el cuadrado sería ²= .. Pero se demuestra que dicho número vuelve a ser . Es decir que, en el cuadrado, como superficie, hay el mismo número de puntos que en el segmento que forma uno de sus lados, o sea que . = . El paso siguiente es obligado: con el cuadrado se construye un cubo para determinar cual es el valor de .. = ³ y, como era de esperar el resultado vuelve a ser el mismo: ³= . En resumen, el número de puntos contenido en el segmento, en el cuadrado y en el cubo es siempre el mismo. Al multiplicar por sí mismo tantas veces como se quiera se obtiene siempre el mismo número. Cantor se plantea entonces si habrá algún número más grande que y lo encuentra elevando este número a si mismo . A este nuevo número lo llama 
, de forma que:
