Las leyes de Kepler

“La gloria de Kepler está escrita en los cielos y ningún progreso de la ciencia puede oscurecerla. Los planetas en la sempiterna sucesión de sus movimientos lo proclamarán siglo tras siglo”.

Franciso Arago (1786-1853) astrónomo francés.

En 1542 los astrónomos preparaban nuevas tablas para ubicar los astros en el cielo. Una teoría revolucionaria había socavado los cimientos en los que se apoyaba la visión del mundo. Copérnico había situado al Sol en el centro del sistema planetario. Ya no eran necesarias 77 circunferencias para explicar el complicado movimiento de la Luna y de los seis planetas conocidos entonces. Con la nueva concepción de Kepler bastaban 34 circunferencias y una posición del Sol que se encontraba muy cerca del centro de los epiciclos. Sin embargo la oposición filosófica y religiosa a sus teorías le llevaban a él y a otros científicos de su época a buscar soluciones de compromiso entre la observación directa de los fenómenos, las Matemáticas que regían sus leyes y el orden divino. Esto en el mejor de los casos, ya que eran muy pocos los que podían entender cabalmente las nuevas teorías de Kepler. Tycho Brahe (1546-1601) había comprobado que algunas estrellas aparecían y desaparecían del firmamento, algo que contradecía la inmutabilidad escolástica de los cielos y ponía en tela de juicio los métodos utilizados. El mismo Brahe, uno de los mejores astrónomos de todos los tiempos, buscaba una solución de compromiso que casara las teorías de Ptolomeo y las difíciles y poco ortodoxas teorías de Copérnico.

Es muy probable que la Teoría Heliocéntrica hubiera quedado sepultada en el oscurantismo religioso de la época de no haber aparecido en la escena científica un genio de la categoría de Kepler.

El pensamiento científico

No es fácil, desde una cierta perspectiva histórica, dilucidar hasta qué punto la asunción de las creencias religiosas era, en personajes de la talla intelectual de Kepler, una cuestión de prudencia o de fe. Sobre todo si se tiene en cuenta que el hacer públicas determinadas opiniones científicas podía fácilmente poner en cuestión el prestigio personal y, en muchas ocasiones, hasta la vida del que las profesaba en peligro. En cualquier caso, Kepler manifestaba un convencimiento religioso-científico peculiar con el que trataba de acomodar creencias muy arraigadas con evidencias prácticas y teóricas en evidente contradicción con ellas. El orden moral y ético de su pensamiento se basaba en la idea de que Dios había elegido las Matemáticas como la forma más perfecta de organizar el mundo y que nuestro deber consistía en entender sus entresijos para poder contemplar su belleza. Como consecuencia, a la hora de abordar una investigación, las Matemáticas eran las que marcaban la pauta.

Y fue con este criterio que Kepler inició lo que habría de ser una de las mayores revoluciones en la historia de la astronomía.

La guerra con Marte

Los movimientos aparentes de Marte en relación a la Tierra hacen que la órbita de este planeta sea difícil de determinar. Tycho Brahe había llevado a cabo muchas mediciones de dicha órbita y a su muerte, en 1601, Kepler, que le había sucedido en el cargo de matemático imperial, continuó su labor. Para ello introdujo un cambio fundamental, ajustando las tablas de Brahe, que habían sido confeccionadas en base a un sistema geocéntrico al nuevo sistema copernicano. Aún así observó errores en la órbita que llegaban a ser de ocho minutos, algo totalmente inconcebible en cálculos provenientes de la mano de Brahe. En palabras de Kepler: “Es imposible que Tycho cometiera un error de observación equivalente a ocho minutos; debemos buscar el origen de las discrepancias en nuestras hipótesis iniciales. Esos ocho minutos que no tenemos el derecho a descuidar nos brindarán el medio de reformar toda la astronomía”.

Las leyes de Kepler

Las teorías astronómicas de la época, además de no suscribir totalmente la Teoría Heliocéntrica, se basaban en otros dos supuestos fundamentales que Kepler empezó a cuestionarse. El primero era que las órbitas de los planetas eran circulares y el segundo que mantenían siempre velocidades lineales constantes. Ambas consideraciones carecían de fundamento matemático. Por ejemplo, para afirmar la velocidad lineal constante de los planetas se argumentaba que un cambio de ésta debía obedecer a un cambio en la fuerza motora y como ésta tenía su origen en Dios debía responder siempre a su absoluta inmutabilidad y por tanto el movimiento debía ser constante.

Cuando Kepler buscó nuevas curvas que se ajustaran mejor a las observaciones se encontró con que la elipse describía perfectamente la trayectoria de los planetas y que la velocidad con que éstos orbitaban alrededor del Sol estaba muy lejos de ser constante. Habían nacido las dos primeras leyes de Kepler, que fueron publicadas en 1609 bajo el título de Astronomia Nova.

Primera Ley de Kepler: “Los planetas describen trayectorias elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol”.

Las elipses vienen caracterizadas por dos ejes perpendiculares. El semieje mayor a es la distancia OB y semieje menor b, la distancia OC, siendo O el centro de la elipse. El valor del semieje mayor se toma como el radio de la órbita del planeta, ya que la distancia media que separa a un planeta del Sol viene representado por dicha distancia.

Por otro lado, el achatamiento de una elipse viene determinado por un parámetro llamado excentricidad (e), cuyo valor está comprendido entre 0 y 1 (0< e < 1), de manera que cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse.

Cuando e = 0 se tiene una circunferencia y conforme va aumentando la excentricidad se va alargando la elipse. El caso extremo sería el valor e = 1, que definiría una recta.

Para la mayoría de los planetas las excentricidades son muy pequeñas y es fácil que por simple observación se confundan con órbitas circulares. Son excepciones las órbitas de Mercurio y Plutón, cuyas excentricidades son muy altas y sus órbitas difícilmente se pueden confundir con circunferencias.

Segunda Ley de Kepler: “El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales”.

Según el principio que, hasta la aparición de esta ley, regía el movimiento planetario, las distancias AB y CD recorridas por un planeta en tiempos iguales debían ser iguales. Sin embargo esta ley afirma que lo que deben ser iguales son las áreas barridas en los mismos tiempos por el radio vector, es decir, por el segmento que une al planeta con el foco de la elipse en donde se encuentra el Sol (en la figura las áreas están coloreadas en lila).

Recordemos que en una elipse los focos son dos puntos que poseen la propiedad de que la suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a dichos focos es constante. Es decir que PF + PF’ = constante.

Una vez determinado uno de los focos, por ejemplo el F, como el punto en el cual se encuentra el Sol, tendremos que en la órbita del planeta hay un punto más alejado, que recibe el nombre de afelio, y otro que es el más cercano, que se llama perihelio. Según esta nomenclatura los planetas alcanzan la máxima velocidad en el perihelio y la mínima en el afelio.

La tercera Ley de Kepler

“Hace 18 meses he visto el primer rayo de luz, hace tres meses he visto el alba, y por último hace pocos días el Sol, más radiante que nunca, se mostró sin velos ante mis ojos… mi libro será leído por la gente de hoy o por la posteridad”. Con este entusiasmo prologaba Kepler su obra Harmonice Mundi, publicada en 1619. Desde la publicación de su Astronomia Nova, Kepler había estado trabajando con tesón en la búsqueda de una ley que relacionara los parámetros de las órbitas y los tiempos que tardaban los planetas en recorrerlas. Sabía que le faltaba un elemento fundamental para poder diseñar matemáticamente la armonía del mundo. Más de nueve años de áridos cálculos (todavía no habían aparecido las tablas de logaritmos) basados en docenas de hipótesis distintas culminarían en una de las leyes más importantes de la moderna astronomía:

“El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol”.

Si tenemos en cuenta que la distancia media viene dada por el semieje mayor de la elipse, la tercera ley también puede enunciarse diciendo:

“Los cuadrados de los periodos P de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores a de la elipse”.

Lo que escrito mediante una igualdad es:

Donde P representa el período de revolución del planeta y R la longitud del semieje mayor de la órbita que describe alrededor del Sol. Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a dos planetas diferentes. Cuando se utiliza esta fórmula se supone que las distancias de ambos planetas están tomadas en el mismo sistema de unidades, así como también las unidades elegidas para representar los períodos de revolución.

Esta ley nos asegura que cuanto más alejado se encuentre un planeta del Sol, mayor será su período de revolución, es decir que el planeta orbitará con mayor lentitud. Por ejemplo, en nuestro Sistema Solar tenemos que Mercurio, el planeta más cercano al Sol, tiene un período de 88 días, lo que, dicho en otras palabras, es la duración de un año mercuriano; mientras que Plutón, el planeta más alejado tiene un período de 248 años (o sea que el año plutoniano dura 248 años terrestres).

Tomando las unidades adecuadas, los cálculos relativos a la tercera ley se simplifican mucho. Lo habitual es tomar como unidad de tiempo el año terrestre, es decir el tiempo que tarda la Tierra en completar una órbita alrededor del Sol, y que llamaremos simplemente año. Para las distancias se suele tomar la unidad astronómica, que se define como la distancia media que hay entre la Tierra y el Sol y que se simboliza con ua.

Si en la fórmula anterior ponemos como segundo plantea la Tierra, tendremos que:

P₂ = 1 año

R₂ = 1 ua

Con lo que la fórmula queda:

P² = R³ o bien P = R ^3/2 (que es una manera de escribir  )

Que nos permite calcular el período de un planeta en función de su distancia media al Sol. Por ejemplo, sabiendo que la distancia media de Plutón al Sol, es de 39,44 ua se puede calcular el período haciendo:

P = (39,44)^3/2 = 248 años

Que es otra manera de expresar que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos.

Esta tercera ley sólo es realmente válida si la masa de los planetas que entran en juego es despreciable en comparación a la del Sol. En caso contrario debe aplicarse la que se ha dado en llamar tercera Ley de Kepler generalizada, que en los cálculos tiene en cuenta el centro de masas formado por los dos planetas considerados.

La Música de las Esferas

Kepler, en su Mysterium Cosmographicum (1596) hizo la conjetura de que los radios de las órbitas de los seis planetas conocidos se correspondían con los de las esferas que contenían a los cinco sólidos platónicos. De este modo, la mayor de todas las esferas, que correspondía a la órbita de Saturno, tendría inscrito un cubo, que a su vez tendría inscrita una esfera correspondiente a la órbita de Júpiter, circunscribiendo un tetraedro y así sucesivamente hasta completar todas las órbitas y todos los planetas.

Pitágoras creía que cada planeta emitía un sonido propio que armonizaba con el de los restantes planetas. Kepler pensó que conociendo la velocidad y la masa de una esfera podía determinar el sonido que producía. Un sonido que nadie podía oír porque era continuo y carecía de silencios. Parte de estos estudios sirvieron a Kepler para su posterior investigación en las dos primeras leyes del movimiento planetario.