Felix Klein marcó un hito en la historia de las Matemáticas al establecer una clasificación de la Geometría con su célebre Programa de Erlangen que, entre otras cosas, acabó definitivamente con la escisión entre Geometría pura y Geometría Analítica. Parte de su obra, especialmente el estudio de las funciones modulares, sigue siendo una herramienta esencial de investigación casi un siglo después de su muerte.
Felix Klein nació el 25 de abril de 1849 en Dusseldorf. Era hijo de un alto funcionario del Estado prusiano. En los primeros años de su infancia fue educado por su madre. Después de estudiar durante dos años en una escuela elemental privada, entró en 1857 en el Instituto de Dusseldorf, en el que permaneció durante ocho años cursando los cursos de bachillerato. A los 16 años entró en la Universidad de Bonn. A pesar del interés que despertaban en él las Matemáticas, se matriculó en muy pocas asignaturas de esta disciplina, dedicando la mayor parte de su actividad a la botánica. Al año siguiente se encargó de las prácticas de física que se llevaban a acabo bajo la dirección de J. Plücker, físico matemático que había estado trabajando en su libro Nueva geometría del espacio. Klein profundizó en el tema hasta el punto de que a la muerte de Plücker se encargó de la redacción de la segunda parte del libro. Consciente de su falta de preparación en algunas áreas de la Matemática, especialmente en el cálculo integral, se trasladó en 1869 a Gotinga, en donde asistió durante un año a los cursos de A. Clebsch. Klein no siguió nunca un programa académico convencional, se marcó él mismo el camino a seguir según sus propios intereses. En su estancia en Berlín, en 1970, no asistió prácticamente a clases de Matemáticas, pero sí mantuvo una intensa actividad de “café” con dos matemáticos importantes, O. Stolz, que de hecho ya era catedrático, pero que había asistido a Berlín para ampliar estudios, y S. Lie. Con este último llevó a cabo una actividad de trabajo extraordinariamente productiva, ya que fue quien le descubrió la importancia de una nueva teoría desarrollada por E. Galois que habría de jugar un papel trascendental en los futuros trabajos de Klein: la Teoría de Grupos. A instancias de Clebsch, recibió el nombramiento de catedrático numerario de Matemáticas de la Universidad de Erlangen, en donde en el texto programático en el que debía explicar su programa docente tuvo lugar por primera vez la lectura de su famoso Programa Erlangen. A lo largo de su actividad docente, Klein enseñó Matemáticas en Munich (1875-1880), Leipzig (1880-1886) y Gotinga (1886-1913), donde fundó, además de un instituto de matemáticas aplicadas, la Gran Enciclopedia de las Matemáticas (1895). En 1882, Klein sufrió un derrumbe psíquico como consecuencia de una grave enfermedad nerviosa que termino definitivamente con su actividad como investigador. Murió en Gotinga en 1925.
Según una estadística, los matemáticos nórdicos prefieren trabajar de noche y los latinos de día. Klein trabajaba día y noche. Uno de sus discípulos se quejó en una ocasión de que la investigación matemática le producía insomnio. “¿No podéis dormir?”, replicó Klein: “¿Para qué está el cloral?”. Una mala recomendación que posiblemente fue el origen de su trágico derrumbe.
El Programa Erlangen
En la geometría que todo el mundo conoce, la euclidiana, estamos habituados a manejar una serie de elementos, que son los objetos propios de esta geometría, como puntos, rectas, planos, ángulos, etc. Y una serie de transformaciones que actúan sobre dichos objetos. Podemos trasladarlos de un sitio a otro, hacerlos girar, alargarlos o encogerlos o aplicarles determinadas simetrías. Algunas de estas transformaciones pueden ser de ida y vuelta, en el sentido de que si una transformación lleva un punto A hasta otro punto B, exista otra que lleve B hasta A. También puede suceder que al aplicar dos transformaciones consecutivas el resultado sea otra transformación. Cuando un conjunto de transformaciones cumple estas propiedades (más algunos detalles adicionales que ahora no vienen al caso) se dice que se tiene un Grupo de Transformaciones. Algunas de las propiedades de los objetos con los que trabajamos en geometría pueden ser más o menos inmunes a esta trasformaciones. Supongamos que a una circunferencia le aplicamos una traslación. El que el centro de la circunferencia esté en un determinado punto es una propiedad que cambia con la traslación. Si lo que hacemos es reducir el tamaño de la circunferencia, el radio variará. Sin embargo, frente a todas estas transformaciones hay una propiedad que permanece invariante, que es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. F. Klein observó que el estudio de estas propiedades invariantes era lo que en realidad definía un determinado tipo de geometría, ya que permitía comparar figuras con propiedades idénticas. Propuso entonces una definición, la más general y la más abstracta, de geometría consistente en una pareja (X; G) formada por un conjunto X de objetos y un grupo G de trasformaciones que pueden aplicarse a estos objetos. Todas las geometrías conocidas (euclidiana, geometría proyectiva, hiperbólica, etc.) quedaban clasificadas por este sistema, además de abrir el camino a nuevas geometrías, ya que el conjunto de objetos geométricos X podía estar formado por cualquier tipo de objetos. Todas estas ideas fueron expuestas por Klein en 1872 en la cátedra de Matemáticas de la ciudad de Erlangen bajo el título de Panorama comparativo de las novísimas investigaciones geométricas; y, con el tiempo, sería conocido en el ámbito matemático como el Programa de Erlangen de F. Klein.
Klein y el sistema educativo
“…Durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupaba exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atención alguna a las necesidades de las escuelas, sin cuidarse en absoluto de establecer conexión alguna con la matemática de la escuela. ¿Cuál era el resultado de esta práctica? El joven estudiante de la universidad se encontraba a sí mismo, al principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en absoluto las cosas que le habían ocupado en la escuela…” Este párrafo forma parte de la introducción de las lecciones sobre Matemática elemental, desde un punto de vista superior, que, Felix Klein escribió en 1908 y que refleja su preocupación por el estado en que se encontraba la enseñanza elemental en aquella época. Creía que debía eliminarse el abismo que se había creado entre la universidad y la enseñanza secundaria, convirtiéndose en uno de los artífices y más enconados defensores de la renovación de la enseñanza de las Matemáticas en los estudios secundarios.
“Siempre debiera pedirse que un asunto matemático no se considere agotado hasta que haya llegado a ser intuitivamente evidente”. Dicho aforismo se atribuye a Klein, al igual que el siguiente, mucho más cáustico: “Si un teorema lleva el nombre de un matemático, es seguro que este matemático no es su inventor”.
