El quinto postulado de Euclides, una de las cuestiones más controvertidas de la historia de las Matemáticas, ha sido objeto de polémicas investigaciones durante más de dos mil años.
Ésta es una historia que parte de los postulados de Euclides y de la sospecha de que uno de ellos, el quinto, llamado el Postulado de las Paralelas, podía ser demostrado a partir de los otros cuatro. A esta tarea se dedicaron infructuosamente las mentes más ilustres de la historia de las Matemáticas. Gauss (1777-1855), uno de los que mejor comprendió la verdadera naturaleza del problema, empezó a abordarlo a los 15 años. Cuando cumplió los 36 apenas había conseguido ningún resultado relevante y escribió: “En la Teoría de las Paralelas ni siquiera ahora estamos mucho más lejos que Euclides. Ésta es una parte vergonzosa de las Matemáticas…”
A pesar de ello, su nombre quedaría unido, junto a los de Bolyai y Lobachevsky, al de los grandes artífices de las geometrías no euclídeas.
La Geometría no Euclídea aparece cuando se niega la validez del quinto postulado, un acto no exento de audacia intelectual, si tenemos en cuenta que durante dos mil años con la Geometría Euclídea se ha medido el mundo en el que vivimos. Ante esta perspectiva, podría parecer que la creación de Geometrías no Euclídeas no podría ir más allá de un puro juego matemático, de un superfluo diletantismo intelectual. Y en un principio pareció que las cosas serían así pero, con el tiempo, estas geometrías se revelaron como una herramienta poderosa, no sólo en el ámbito matemático en el que materias como los sistemas dinámicos, la funciones automorfas o la Teoría de Números se beneficiaron de ellas, sino que resultó ser una vara de medir imprescindible en muchos campos de la Física moderna.
La Geometría de Euclides
Los conceptos más elementales de punto, recta, plano, y las relaciones que se establecen entre ellos, desde las más sencillas hasta las más complejas, fueron sistematizadas y ordenadas, entre los años 330 y 275 a. de C. en uno de los libros más difundidos, junto con la Biblia, de la historia de la humanidad: Los Elementos (Stoikheia) de Euclides, en los que todo el saber geométrico de la época se condensa en trece libros.
Euclides construyó la geometría utilizando tres herramientas conceptuales claves: los axiomas, los postulados y los teoremas. Los teoremas hacen referencia a proposiciones que no son evidentes y que se demuestran, mediante un proceso lógico de razonamiento, a partir de los axiomas y los postulados. Para ello Euclides parte de 23 axiomas y cinco postulados, a partir de los cuales demuestra todos los teoremas. La diferencia que hay entre un axioma y un postulado es importante para comprender la naturaleza de la geometría que se describe en Los Elementos. Un axioma no necesita demostración, ya que se trata de una proposición clara y evidente.
Por ejemplo, el primer axioma de Los Elementos dice: “un punto es lo que no tiene partes”. En cambio, un postulado es una proposición que, no siendo tan evidente como un axioma, se admite como verdadera sin demostrarla. Los 4 primeros postulados de Euclides son:
Postulado 1. Por dos puntos distintos pasa una única recta.
Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.
Postulado 3. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados.
Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
El quinto postulado
El quinto postulado de Los Elementos de Euclides, que no tiene la nitidez de los otros cuatro, afirma que “si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos”. Supongamos una recta R3 que corta a otras dos R1, R2
Los ángulos internos, menores que dos rectos, a que hace referencia el postulado, serían los señalados como a y b. El quinto postulado afirma que si prolongamos las rectas R1 y R2 éstas se encontrarán en la parte de la derecha de la figura.
Desde siempre llamó la atención de los geómetras que el quinto postulado no tuviera la simplicidad y, sobretodo, el carácter de evidencia de los cuatro anteriores. Hasta el mismo Euclides, consciente de ello, trató de evitarlo y, de hecho, no lo utiliza hasta la demostración de la proposición 29 del libro I. Este intento de construir toda su geometría tratando de evitar el uso del quinto postulado ha conducido a que, en ocasiones, se afirmara que ”Euclides fue el primer geómetra no euclidiano”.
El caso es que, desde su mismo nacimiento, el quinto postulado de Euclides planteó algunos interrogantes. ¿Era cierto? Y en caso afirmativo, ¿era realmente un postulado independiente o era un teorema que podía ser demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores?
Las alternativas
Uno de los objetivos en las investigaciones sobre el quinto postulado fue la ardua tarea de encontrar otra versión del mismo que fuera más clara, más intuitiva y que, a su vez, fuera totalmente equivalente al propuesto por Euclides. Entre los enunciados alternativos más importantes cabe destacar:
- Una paralela a una recta dada dista de ella una longitud constante (Proclo de Alejandría 410-485).
- Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir, triángulos cuyos ángulos son iguales pero de lados desiguales (J. Wallis 1616-1703).
- Existe al menos un rectángulo, esto es, un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos (Saccheri 1667-1733).
- Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al otro lado (Legendre 1752-1833).
- La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos (Legendre).
- Existen triángulos de área arbitrariamente grande (Gauss 1777-1855).
- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.
La última de estas versiones, aparecida en 1795 y debida al matemático escocés John Playfair (1748-1819), es la más conocida de todas y la que se suele utilizar en los libros de texto. Es frecuente referirse al quinto postulado como al Postulado de las Paralelas.
La descripción detallada de los intentos por demostrar la independencia del quinto postulado podría llenar un grueso volumen en el que figurarían los nombres más destacados de la historia de las Matemáticas. Todos ellos fueron intentos elogiables, algunos más audaces que otros, pero todos marcados por el más absoluto de los fracasos. En muchos casos, la demostración que se conseguía se basaba en alguna propiedad que se consideraba evidente pero que en realidad era equivalente al quinto postulado. Hubo hasta quien, como Legendre, murió convencido de haber conseguido la tan ansiada demostración. Sus errores fueron de una enorme sutileza y dieron lugar a un gran número de grandes controversias.
Un extraño rectángulo o la hipótesis del ángulo recto
Observemos la siguiente figura
en la que hemos representado algo que “parece” un rectángulo. Decimos “parece” porque, en principio, el lado CD que hemos dibujado mediante una línea de puntos, no sabemos que forma exacta acabará teniendo. Lo que sí sabemos con certeza es que los ángulos correspondientes a los vértices A y B son rectos (ángulos de 90º) y que los lados AC y BD son iguales. En estas condiciones se puede demostrar que los ángulos correspondientes a los vértices C y D son iguales, algo que puede hacerse sin utilizar el quinto postulado. Y ahora viene lo más importante: si aceptamos como cierto el quinto postulado, podremos demostrar que dichos ángulos C y D son rectos y, recíprocamente, si damos por cierto que estos ángulos son rectos, podremos demostrar el quinto postulado. De esta manera, la hipótesis de que los ángulos C y D son rectos es equivalente al quinto postulado. Esta hipótesis es conocida como la Hipótesis del Ángulo Recto.
Aceptar la Hipótesis del Ángulo Recto nos conduce a la Geometría Euclídea que todos conocemos, pero quedan todavía dos posibilidades más a considerar. Los dos ángulos en cuestión sabemos que han de ser iguales, pero podrían medir menos de 90º
lo que nos llevaría a la Hipótesis del Ángulo Agudo; o bien, podrían ser mayores que un ángulo recto, lo que nos conduciría a la Hipótesis del Ángulo Obtuso
La aceptación de estas tres hipótesis plantea existencia de tres geometrías diferentes, la hiperbólica, la elíptica y la de Euclides, de las cuales, como veremos, la de Euclides no es necesariamente la más “realista”.
La geometría de los navegantes
Para intuir cómo puede ser una geometría basada en la Hipótesis del Ángulo Agudo situemos el rectángulo anterior sobre una esfera, que podría ser la esfera del globo terráqueo si éste fuera una esfera perfecta, de manera que la base AB estuviera situada sobre el círculo máximo que determina el ecuador
Pensemos que, en el plano, cuando unimos los puntos A y B mediante un segmento de recta, lo que hacemos es trazar la línea más corta que une dichos puntos. En una esfera dicha línea es un arco de círculo máximo (obviamente, el más pequeño de los dos que unen ambos puntos). Este tipo de líneas más cortas reciben el nombre general de “geodésicas”, de forma que las geodésicas en el plano son las líneas rectas y las geodésicas en una esfera son los círculos máximos.
Tracemos ahora dos círculos máximos que pasen por el polo Norte y por cada uno de los puntos A y B. Estos círculos máximos formarán ángulos rectos con el ecuador. Habremos construido así un triángulo curvilíneo ANB. Tracemos ahora otro círculo máximo que corte a ambos meridianos en C y D, y de forma que las distancias AC y BD sean iguales. Tendremos ahora dibujado el rectángulo anterior, pero sobre la esfera. Los ángulos en C y D son iguales, pero mayores de 90º, con lo que se cumplirá la Hipótesis del Ángulo Obtuso.
En esta Geometría no Euclídea dos rectas (dos geodésicas) se cortan siempre en dos puntos. Para un navegante, el plano en el que Euclides representa las rectas es una pura idealización, ya que la superficie en que se mueve se aproxima mucho más a una esfera y cuando quiere recorrer el camino más corto que separa dos puntos lo hace a través de un círculo máximo. En este sentido decíamos antes que una Geometría no Euclídea podría ser más realista.
El cuadrilátero con el que hemos estado trabajando se llama “cuadrilátero de Saccheri”. Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), un jesuita que llegó a ser catedrático de Matemáticas en la Universidad de Pavía, fue el primero en plantearse la posibilidad de que el quinto postulado de Euclides fuera falso, para así intentar llegar a una contradicción. Los resultados que obtuvo podrían haber tenido una enorme importancia y, de hecho, la tendrían tiempo después, pero él los rechazó por considerarlos descabellados. Sin embargo, sus trabajos fueron el punto de partida para una de las investigaciones más fascinantes y revolucionarias de la historia de las Matemáticas: la creación de las Geometrías no Euclídeas.
El nacimiento de la Geometría no Euclídea
El proceso histórico mediante el cual las geometrías no euclídeas llegaron a ser lo que son hoy en día es realmente complejo y sólo podemos bosquejarlo a grandes rasgos. El primer matemático que se dio cuenta de que el quinto postulado era independiente y que de su negación podía surgir una nueva geometría fue F. Gauss (1777-1855). Pero no llegó nunca a publicar sus resultados, como él manifestó en una ocasión, por miedo a no ser bien comprendido.
Como el V axioma es equivalente a la afirmación de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, Gauss hizo medidas de los ángulos de triángulos con lados enormes (llegó a subirse a la cima de tres montañas con un teodolito para hacer mediciones), pero no llegó a resolver sus dudas, debido a la falta de precisión de los instrumentos de medida. Éste es el motivo por el que a la nueva geometría, a la que en un principio llamó antieuclídea, la bautizara con el nombre de geometría astral, la que serviría para medir las estrellas. Aunque finalmente se decidió por referirse a ella como Geometría no Euclídea.
Farkas Wolfgang Bolyai (1775-1856) fue un matemático húngaro, amigo íntimo de Gauss, que dedicó muchos esfuerzos al estudio del axioma de las paralelas, pero que no consiguió alcanzar ningún resultado decisivo. Después de batallar inútilmente contra el quinto postulado, le escribió una carta a su hijo Janos, en la que le decía: “detéstalo como una pérdida de tiempo; puede privarte de todo tu esparcimiento, tu salud, tu descanso y toda la felicidad de su vida”. Luego se dedicó a escribir poesía, música y drama.
Sería precisamente su hijo Janos Bolyai (1802-1860) quien, desoyendo los consejos de su padre que le rogaba que abandonara tan arduo tema, dedicó 20 años de su vida hasta conseguir lo que muchos matemáticos consideran una pequeña obra maestra. Le envió a su padre los resultados, que apenas ocupaban 26 páginas, quien le pidió autorización para publicarlos como apéndice en uno de sus tratados.
En una carta a un amigo, Gauss dice, refiriéndose a Janos y a su trabajo: “Considero al joven geómetra Bolyai un genio de primera fila, porque todos estos resultados coinciden con los que obtuve hace mucho tiempo”. Janos, en parte decepcionado por esta actitud y en parte porque tuvo noticia de que sus resultados ya habían sido publicados antes por un matemático ruso, Lobachevsky, abandonó las Matemáticas definitivamente.
La Geometría de Lobachevsky
Lobachevsky partió de la hipótesis de que el quinto postulado no podía ser demostrado y construyó una nueva geometría a partir de un postulado diferente en el que se afirmaba que “dados una recta r y un punto P exterior a ella, se pueden trazar al menos dos paralelas a r que pasen por el punto P”.
Trabajando sobre esta hipótesis llegó a un resultado sorprendente: el conjunto de rectas que pasan por P se divide en dos clases, la de las rectas que cortan a r y la de las que no la cortan
Estas dos clases de rectas no están entremezcladas en el plano. El conjunto de las que no cortan a r se encuentran todas formando un haz delimitado por dos rectas p y q (que reciben el nombre de paralelas), que tampoco cortan a r y que hacen de frontera de este conjunto.
El esquema queda entonces de la siguiente forma: si se traza desde P una perpendicular a r, la distancia d y el ángulo α determinan geométricamente a las dos clases de rectas: las que forman un ángulo menor que α , que es la de la clase de rectas que cortan a r, y las que forman un ángulo mayor que α, que no la cortan. En la Geometría de Lobachevsky por un punto exterior a una recta dada pasan infinitas rectas paralelas a ésta.
A partir de esta construcción, Lobachevsky estableció una Trigonometría no Euclidiana con resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Uno de los aspectos más interesantes de este desarrollo es que cuanto más pequeñas eran las magnitudes con las que trabajaba, más coincidencia había con las funciones trigonométricas habituales. Dicho en otras palabras, que la Geometría Euclídea podía ser considerada como una caso límite de la Geometría de Lobachevsky.
Conclusión
Como decíamos al principio, la Geometría no Euclídea hubiera quedado en un puro diletantismo matemático si no hubiera sido por otras investigaciones posteriores que la sacaron de su mundo virtual y la aproximaron a un escenario físico concreto. En 1868 el matemático italiano E. Beltrami (1835-1900) construyó un modelo físico, la pseudoesfera, para albergar, aunque fuera de forma local, la Geometría de Lobachevsky. Posteriormente F. Klein (1849-1952) la generalizó a todo el espacio, dando también una interpretación proyectiva.
La conclusión final a la que se llegó es que la Geometría Hiperbólica es tan consistente como la Geometría Euclídea (es decir, si la Geometría Hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la Geometría Euclídea también).
Tabla resumen
| Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela | La suma de los ángulos de un triángulo es 180º | Euclídea | Euclides |
| Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas paralelas | La suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180º | Hiperbólica | GaussBolillaLobachevsky |
| Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela | La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180º | Elíptica | Riemann |
Para distancias relativamente pequeñas, la Geometría Euclídea y la no Euclídea son prácticamente equivalentes. Sin embargo, cuando se trata de distancias astronómicas o en ciertos ámbitos de la física moderna (Relatividad o Teoría de Propagación de Ondas), la Geometría no Euclídea resulta ser una herramienta más precisa.
La pseudoesfera
La pseudoesfera es una superficie de revolución que tiene una forma parecida a una trompeta alargada
Se construye a partir de una curva llamada tractriz (o curva del perro), y que tiene la propiedad de que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante (motivo por el que a esta curva también se la llama “equitangencial”). Si se hace girar la curva alrededor del eje OY se obtiene, pues, la pseudoesfera.
Geometría Riemanniana
Bernhard Riemann (1826-1866), a instancias de Gauss, desarrolló un enfoque original de la geometría del espacio aplicando técnicas analíticas que no podían engañar a la intuición con “verdades evidentes”. Desarrolló una geometría local introduciendo el llamado “tensor de curvatura”, cuya anulación caracterizaba a la Geometría Euclídea. Esta Geometría Riemanniana habría de ser fundamental años después, cuando Einstein abordó la estructura geométrica del Universo en su Teoría de la Relatividad General, demostrando cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas rectas (geodésicas) de dicha geometría.
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