La fascinación que en algunas mentes han despertado las propiedades de algunas figuras geométricas, les ha llevado a traspasar el mundo de las Matemáticas para adentrarse en los iniciáticos caminos de la Mística.
Etimológicamente, la palabra “símbolo” proviene del vocablo griego symboleion, que hace referencia a las dos mitades de un mismo objeto. De forma que sólo puede tenerse una visión completa del mismo cuando ambas mitades se vuelven a unir. Esto debe interpretarse como que el símbolo, en sí mismo, no es más que una de las dos mitades. La otra pertenece al intelecto. Por ejemplo, la figura
no es más que un conjunto de tres rayas unidas unas con otras. Ésta es una de las mitades del símbolo. La otra mitad forma parte de la cultura. Cuando ambas se juntan, la figura adquiere un significado concreto: se trata de un triangulo rectángulo, algo que encierra un buen montón de conceptos y que puede sugerir una larga lista de reflexiones. Para un matemático se tratará de reflexiones familiares, muchas de las cuales forman parte de un curso de matemáticas escolares. Para un místico pitagórico puede significar el concepto de lo irracional, la transmutación a otro nivel de pensamiento, ya que en la figura puede estar contenido el número .
Las Matemáticas en general, y la Geometría en particular, han sido la mayor fuente (si no la única) de inspiración para el simbolismo místico de casi todas las culturas. Es bien conocido el papel que, en este aspecto, han jugado conceptos como el número áureo, la esfera, los sólidos platónicos, la serie de Fibonacci o las espirales, por mencionar sólo algunos. Entre todos ellos, quizás los más interesantes sean los pentagramas y las figuras geométricas formadas por círculos. Estas últimas, no siendo las más popularmente conocidas han sido, sin embargo, las que han dado lugar a los iconos religiosos más antiguos de la historia.
Los cinco sólidos platónicos que para los griegos representaban, respectivamente, el Fuego, la Tierra, el Aire, el Éter y el Agua.
Pentagramas
Un pentagrama es un polígono estrellado que se construye prolongando los lados de un pentágono regular.
Una de sus propiedades más interesantes, por lo menos en relación al tema que estamos tratando, es que si lo miramos como un pentágono al que le hemos añadido cinco triángulos, resulta que cada uno de ellos es un triángulo áureo.
Esto significa que se trata de triángulos isósceles en los que la relación que existe entre uno de los lados iguales y la base es, precisamente, el número áureo.
a/b = ¿ = 1, 6180339887…
Partiendo de un pentagrama cuya circunferencia circunscrita tenga por radio la unidad, se pueden ir inscribiendo pentagramas dentro de éste hasta formar una estructura fractal,
con la propiedad de que los radios de los sucesivos círculos circunscritos valen todos ellos
lo que nos garantiza la presencia del número áureo ad infinitum. El pentagrama, al que también se le denomina “pentaclo” fue el icono geométrico más importante de la escuela pitagórica y el elemento fundamental de su simbolismo místico. Una de las propiedades geométricas de los pentagramas que más respeto infundía en los adeptos de las escuelas pitagóricas era la llamada “unicursalidad”, propiedad que consiste en la posibilidad de dibujar la figura mediante un punto que la recorre sin pasar dos veces por el mismo sitio.
Círculos
Una de las figuras geométricas más utilizadas en la Geometría sagrada es la circunferencia (o el círculo, según sus aplicaciones). El círculo es considerado como el icono de la sabiduría perfecta; como proyección en el plano de una esfera que es, a su vez, el símbolo del espíritu indivisible del Universo; o como figura geométrica, ya que tiene la paternidad absoluta del número Pi, por lo que algunos místicos ven en dicha figura el emblema de la trascendencia. Este último aspecto no puede remontarse, como a muchos les gustaría, a la noche de los tiempos, ya que la trascendencia de Pi, al menos como número, no fue demostrada hasta 1882. El aspecto más interesante del círculo, como figura sagrada, es que da lugar a múltiples combinaciones, algunas de ellas matemáticamente interesantes y que se han visto materializadas en multitud de ornamentos arquitectónicos que, éstos sí, se remontan a culturas muy antiguas.
Lentículas.
Dos circunferencias que no sean disjuntas ni tangentes, se cortan inevitablemente en dos puntos. La intersección de los respectivos círculos forma una figura geométrica en forma de lente.
No es difícil demostrar que la longitud a de la cuerda que une los puntos de intersección de ambos círculos viene dada por
en donde d es la distancia que separa a los centros de ambas circunferencias, que tienen por radios R y r. Un caso particular surge cuando ambas circunferencias tienen el mismo radio y la intersección se realiza de forma tal que el centro de cada una de ellas está sobre la circunferencia de la otra.
La lentícula que se obtiene como intersección de ambas circunferencias adquiere un significado místico especial y recibe el nombre Vesica pisces, por su parecido con la forma de un pez. El pez, que ya había sido un símbolo místico en los primeros tiempos del cristianismo, es retomado en la Vesica pisces como icono religioso; no sólo en multitud de ornamentos, sino también como figura arquitectónica, especialmente en el gótico. El interés matemático de la figura estriba en que permite calcular el número irracional mediante métodos puramente geométricos. En efecto, si en la fórmula anterior, que nos daba el valor de la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias, consideramos que ambos radios son iguales R = r y que, por la disposición de los centros, coincide también con la distancia a la que éstos están separados, se tendrá que R = r = d.
De manera que la razón entre la separación de los centros y la longitud de la cuerda nos proporciona el valor de . Si tomamos circunferencias de radio unidad obtenemos directamente que a =
.
Estudiemos ahora la intersección de tres círculos que tengan el mismo radio. Si hace pruebas con un compás y un papel, observará fácilmente que hay muchas maneras de realizar dicha intersección, pero una sola que sea completamente simétrica, para lo cual le ayudará mucho el dibujar un círculo auxiliar (en rojo).
Ésta es una figura que puede observarse con cierta frecuencia en los muros de muchas iglesias, tanto en ventanas ciegas como en cristales emplomados. Las tres lentículas, que se encuentran dispuestas en forma simétrica (sus extremos están en los vértices de un triángulo equilátero) tienen un área total de
Para formar una figura análoga, pero con cuatro círculos de igual radio, nos podemos apoyar en los vértices de un cuadrado que tenga por lado el diámetro del círculo:
obteniendo así una figura formada por cuatro lentículas, que también aparece con frecuencia en los rosetones de muchas catedrales:
En este caso el valor del área que configuran las cuatro lentículas adquiere una expresión todavía más sencilla:
A = 2(π – 2)
El problema de los cinco discos
El rosetón formado por los cinco discos iguales que se cortan en un punto, y del que para su construcción nos valdremos de un pentágono regular, nos lleva al planteamiento de un problema geométrico interesante, cuyo resultado le imprime a esta figura un papel sumamente relevante en la iconografía religiosa. El problema en cuestión se titula “el problema de los cinco círculos” y de hecho forma parte de un problema mucho más general que se plantea con un número n de círculos de radio unidad. Concretamente, el problema de los cinco círculos se enuncia en los siguientes términos: se parte de un disco de radio unidad, ¿cuál ha de ser el radio mínimo de cinco discos iguales para que, siguiendo la disposición simétrica que hemos estado haciendo hasta ahora, cubran totalmente al disco unidad?
La resolución de este problema es algo compleja, por lo que iremos directamente a la respuesta, que es lo que ahora nos interesa. El radio debe valer 0,6180339887; número, por otra parte, muy familiar, ya que ¿, el número áureo, vale precisamente 1, 6180339887…por lo que cinco circunferencias que se cortan simétricamente en un solo punto cubren completamente el disco de radio unidad (en azul) si tienen un radio
r = 1 – ¿
con lo que, además de aparecer una importante relación entre el número áureo y el pentágono regular, el rosetón formado por cinco lentículas adquiere una significación mística realmente especial.
La semilla de la vida
Veamos ahora lo que ocurre con el rosetón formado por seis lentículas. Siguiendo el esquema anterior lo construiremos basándonos en un hexágono regular, intersecando de forma simétrica seis círculos en un solo punto.
Esta figura, que ha sido utilizada frecuentemente por hipnotizadores profesionales, recibe el nombre de “semilla de la vida”. Más exactamente, se denomina así a la figura que se obtiene cuando se la rodea con un círculo que sea tangente a los seis círculos que la forman.
Su generación, según la tradición, parte de siete círculos, seis de los cuales se expanden desde el centro para quedar abrazados por el gran círculo exterior. Esta figura constituye un auténtico patrón geométrico que, no siendo privativo de ninguna cultura en particular, se encuentra como objeto ornamental en sitios tan alejados como Islandia, Turquía, Inglaterra, Israel, Egipto, China, Tíbet, Grecia, Japón, Suecia, España (Córdoba) o Yucatán. Y es el patrón geométrico desde el que se origina uno de los más importantes iconos del misticismo universal: “la flor de la vida”.
Es una de estas típicas figuras geométricas que cuando se observan durante unos minutos ofrecen diferentes versiones, triángulos curvilíneos, copas, rosetones, etc. Su antigüedad se remonta a los 5.000 años, ya que se puede encontrar en el que está considerado como uno de los templos más antiguos del planeta, en Abydos, Egipto, y dentro del templo, en el que probablemente sea también su parte más antigua.
El Ying-Yang
Uno de los símbolos que más difusión ha tenido entre las culturas orientales es el de Ying-Yang, que representa la naturaleza de los opuestos, hombre-mujer, cielo-tierra, noche-día, frío-caliente, etc. Su figura geométrica se construye de la siguiente forma: en primer lugar se toman dos círculos de radio :
A continuación se unen por uno de sus extremos:
Luego se dibuja un círculo de radio uno y con él se unen los otros dos extremos de los círculos de radio :
Rellenando una de las dos partes de la figura en negro y dejando la otra en blanco, se obtiene, por fin, el símbolo del Ying-Yang:
