Geometría proyectiva III

Hoy ampliaremos las nociones de geometría proyectiva que ya habíamos visto en Geometría proyectiva II.

La estrategia de Poncelet

Poncelet basó el desarrollo de la Geometría Proyectiva en tres conceptos básicos: el de las figuras homólogas, el principio de dualidad y el principio de continuidad. Sobre los dos primeros ya hemos dado una idea general. El tercero fue, en su momento, el más conflictivo de los tres, ya que se encontró con fuertes resistencias a ser aceptado, en parte porque era una idea arriesgada y en parte porque no la sustentó con las herramientas matemáticas necesarias.

Su enunciado aparece en la primera versión de su tratado de de Geometría Proyectiva y dice textualmente: “si una figura es derivada de otra mediante un cambio continuo y la última es tan general como la anterior, entonces cualquier propiedad de la primera figura puede ser establecida inmediatamente para la segunda”. Esto quiere decir que si, por ejemplo, uno de los lados de un cuadrado se va acortando progresivamente hasta que sus vértices coinciden, de manera que obtengamos un triángulo, algunas de las propiedades del cuadrado deberán conservarse en el triángulo siempre y cuando encontremos la manera adecuada de expresar dichas propiedades.

Pero ocurría que, en algunas situaciones, esta deformación continua llevaba a la desaparición de algún elemento geométrico fundamental. Entonces Poncelet decía que dicho elemento entraba en la categoría de lo imaginario y pasaba a situarse en el infinito. Como ejemplo ponía el de dos círculos que se cortan y una de las propiedades subyacentes a su cuerda común.

Supongamos que tenemos dos círculos que se cortan en los puntos P y Q, y que desde un punto exterior O trazamos la cuerda común a ambos círculos. La propiedad de la cuerda común es que las tangentes trazadas a ambos círculos desde cualquiera de sus puntos tienen la misma longitud: OT = OT’. El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen esta propiedad se llama “eje radical de las dos circunferencias” y es precisamente la recta que define la cuerda PQ.

Supongamos ahora que vamos separando paulatinamente las dos circunferencias hasta dejarlas tangentes la una a la otra. Los puntos P y Q se han convertido en un solo punto R, que es el punto de tangencia de ambas circunferencias. La propiedad anterior subsiste, ya que el eje radical de las dos circunferencias se define en este caso como la tangente común, de manera que OT = OR = OT’.

Si seguimos separando las circunferencias, nos encontraremos con que desaparece la cuerda común.

Sin embargo, el eje radical de dos circunferencias puede definirse igualmente y pasa por la recta perpendicular a la que une los centros de ambas circunferencias, de manera que OT = OT’. Poncelet afirma entonces que la cuerda común a ambas circunferencias (el eje radical) sigue estando presente, lo que ocurre es que los puntos de intersección de ambas circunferencias son puntos imaginarios, a los que llama I y J, y que están situados en la recta del infinito. De esta forma, la propiedad antes mencionada subsiste independientemente de cual sea la posición relativa de las dos circunferencias. Es más, Poncelet afirma que dos circunferencias se cortan siempre en dos puntos.

Entre los estudiantes de Matemática los puntos imaginarios I y J acabaron recibiendo los nombres de Isaac y Jacob, sin que nadie sepa a ciencia cierta a que fue debido este curioso bautismo.

Geometría Sintética

A la geometría que no utiliza para su estudio más que métodos puramente geométricos, sin utilizar otras herramientas como el Álgebra y el Análisis, se le llama Geometría Sintética. Es, en cierta forma, la geometría de la intuición. Es la que se enseña en los primeros cursos escolares y, en términos generales, es también la más difícil. Según sus muchos defensores, desarrolla mejor que ninguna otra eso que se ha dado en llamar la visión o “intuición geométrica”. En el desarrollo de la Geometría Proyectiva, Monge utilizó en más de una ocasión el Álgebra para afianzar sus resultados, especialmente en lo referente a la Teoría de la Continuidad.

Otro de los grandes nombres asociados a la Geometría Proyectiva fue el de Jacob Steiner (1796-1863), matemático alemán que obtuvo grandes avances utilizando métodos puramente sintéticos. Steiner basó su principio fundamental en las proyectividades entre haces de puntos y rectas según el siguiente esquema:

Partimos de dos haces de rectas a, b, c, y a’, b’, c’, concurrentes respectivamente en los puntos P y P’. A continuación relacionamos ambos haces por medio del haz de puntos que define una sección m.

Tomemos ahora un tercer haz Q y relacionemos P’ y Q mediante la sección n. Entonces tendremos que los haces P y Q están relacionados de manera que a la recta a le corresponde una única recta a’ y viceversa. Este tipo de relación entre los dos haces es una proyectividad. Mediante este sistema Steiner construye una cónica, siendo P y Q dos puntos de la misma.

quedando determinados los demás puntos por las intersecciones de rectas homólogas en la proyectividad.

Sin embargo, al utilizar las proyectividades, Steiner no relacionó las cónicas así obtenidas con las secciones cónicas que se obtienen cortando un cono mediante un plano. Pero el sistema tenía la gran ventaja de poder aplicar el principio de dualidad sin tener que recurrir a ningún artificio algebraico, ya que sus cónicas podían ser consideradas indistintamente como formadas por haces de rectas o por haces de puntos. Aplicó directamente este método, por ejemplo, para demostrar el teorema dual del Teorema de Pascal, en el que el enunciado comienza diciendo “si tomamos seis puntos sobre una cónica de puntos…”, que en su versión dual sería “si tomamos seis rectas sobre una cónica de rectas…”. Para el resto del enunciado basta con cambiar “cortarse en” por “estar en”.

Como dato curioso diremos que Steiner, que tildaba a los puntos imaginarios de la geometría proyectiva de “fantasmas” o “sombras de la geometría”, defendía el aspecto intuitivo de la geometría sintética hasta tal punto que en sus clases apagaba las luces dejando el aula en una semipenumbra para que sus alumnos pudieran “visualizar” mejor sus explicaciones.

El camino Real

La Geometría Euclídea, la que se enseña en los colegios e incluso en cursos avanzados de carreras técnicas, es la geometría que nos resulta más familiar, ya que tiene conexiones directas con nuestra experiencia cotidiana en el mundo que nos rodea. Pero adolece del inconveniente de ser una geometría difícil.

La Geometría Proyectiva abrió un nuevo camino que permitió resolver con gran simplicidad muchos teoremas y problemas que en la Geometría Euclídea resultaban terriblemente complejos. Es en este sentido que Klein califica a la Geometría Proyectiva de geometría real (como reina de las geometrías). Además, una geometría no excluye a la otra, ya que estructuralmente la Geometría Euclídea puede considerarse como un caso particular de la Proyectiva.

A pesar de que admite un enfoque sintético de alto valor pedagógico, la Geometría Proyectiva no ha sido incluida nunca en los programas de enseñanza elemental, ya que requiere de razonamientos de cierta complejidad. Por otro lado es una de las ramas de las Matemáticas que han tenido una mayor proyección en las aplicaciones prácticas. No hay que olvidar que, como heredera de la Geometría Descriptiva, nació ante la necesidad de resolver problemas concretos de ingeniería y arquitectura.

Los libros de Geometría Proyectiva se caracterizan por tener muchas de sus páginas escritas a doble columna, en la primera de las cuales figura un resultado y en la segunda su versión dual. El inventor de este método fue el matemático francés Joseph Gergonne (1771-1859), que fue también quien introdujo los términos “polar” y “principio de dualidad”.