Hoy veremos más nociones de geometría proyectiva, para ampliar los conceptos que vimos en Geometría Proyectiva I.
Figuras homólogas
Definamos un haz de puntos como una serie de puntos situados todos en una misma recta
De la misma forma, podemos definir un haz de rectas como una serie de rectas concurrentes en un punto.
Cuando cortamos un haz de rectas mediante otra recta obtenemos un haz de puntos que se denomina sección del haz.
Si dado un haz de rectas establecemos en él dos secciones diferentes, tendremos dos conjuntos de puntos en correspondencia biunívoca. A esta correspondencia se le lama una “perspectividad”.
Un producto de perspectividades (una serie de perspectividades que realizamos una a continuación de la otra) es lo que se llama una “proyectividad”, que es la transformación básica de la Geometría Proyectiva.
Mediante proyectividades, es decir, mediante una secuencia de proyecciones y secciones, se pueden ir obteniendo figuras homólogas de una determinada figura de partida. El estudio de estas figuras conduce a establecer cuáles de sus propiedades geométricas son invariantes, es decir, que no se alteran al aplicarles este tipo de transformaciones. Con esto lo que se consigue es poder llegar a tener una figura mucho más simple que la de partida, para la que sea más fácil demostrar una propiedad concreta que sabemos se conservará en la figura original.
Una geometría más realista.
Existe una idea muy difundida según la cual se considera que la Geometría de Euclides es la geometría real del espacio en el que vivimos, lo que nos lleva a considerar otras geometrías diferentes, como la Proyectiva, como artilugios matemáticos para los que se requieren ciertas dosis de imaginación, cuando no de fantasía. Sin embargo, esto no es cierto. Cualquiera puede ver dos rectas que se cortan, pero nadie ha visto nuca dos rectas paralelas, algo cuya existencia afirma rotundamente la Geometría Euclídea. La visión más realista de dos rectas paralelas la tenemos cuando miramos un tendido de vías de tren que se pierde en la lejanía. Lo que en realidad vemos entonces es que ambas vías se unen en algún punto del horizonte.
Principio de dualidad
Uno de los resultados más espectaculares que se desprenden de la Geometría Proyectiva es el llamado “principio de dualidad”. Este afirma, en el caso del plano, por ejemplo, que las proposiciones que se establecen en Geometría Proyectiva siguen teniendo significado y los teoremas siguen siendo válidos cuando se intercambian los términos “punto” y “recta”. Lógicamente también deben cambiarse los términos que especifican posiciones relativas entre estos elementos, como puedan ser “cortar” y “unir” o “pasar por” y “estar en”. Por ejemplo, si un enunciado dice: “dos rectas se cortan siempre en un punto”, su enunciado dual afirma que “dos puntos están siempre sobre una recta”.
La magia del principio de dualidad estriba en que una vez demostrado un resultado, queda automáticamente demostrado su dual.
Un ejemplo de enunciados duales es el siguiente
 Las rectas r y s se cortan en el punto P. |
 Por los puntos R y S pasa una única recta p. |
La fuerza del principio de dualidad se puso de manifiesto cuando, aplicando este método, Brianchon (1785-1864) publicó en 1806 en el Journal de la escuela Politécnica de París la demostración del siguiente teorema: “dado un hexágono cualquiera que esté circunscrito a una sección cónica, las rectas que unen vértices opuestos concurren en un punto”.
Brianchon no sólo demostró el teorema, sino que también tuvo el mérito de haberlo descubierto. ¿Por qué este resultado supuso un empujón definitivo a la Geometría Proyectiva y especialmente al método dual creado porPascal en el que se afirma que dada una sección cónica cualquiera y un hexágono inscrito en ella, la prolongación de los lados opuestos del hexágono concurren en un punto y los tres puntos así obtenidos están alineados.
Obsérvese cómo el simple intercambio de los términos “puntos” y rectas”, junto con el de cortarse en un punto” y “estar en una recta”, convierte a un teorema en el dual del otro.
Hay figuras geométricas que son autoduales como, por ejemplo, un triángulo. Si analizamos su configuración geométrica nos encontramos con tres puntos no alineados (tres rectas que no se cortan), de manera que cada par de puntos se encuentran en una recta (cada par de rectas se cortan en un vértice del triángulo). Por tanto, cuando construimos la figura dual nos volvemos a encontrar con el triángulo de partida.
No sólo las figuras geométricas sino también algunas proposiciones pueden poseer la propiedad denominada autodual, lo que significa que cuando se les aplica el principio de dualidad se obtiene una proposición equivalente a la original. Un ejemplo de proposición autodual es el Teorema de Desargues que vimos en Geometría Proyectiva I.
Continuará…
