“La Geometría Proyectiva nos ha abierto fácilmente nuevos territorios en nuestra ciencia, y ha sido justamente considerada como un camino real para su campo particular de conocimiento.”
En líneas muy generales, se pude definir la Geometría Proyectiva como una parte de la Geometría en la que se incluyen aquellas propiedades que permanecen invariantes cuando se realiza una proyección desde un punto. Dicho de otra forma, dos figuras geométricas se consideran equivalentes si se puede obtener la una de la otra mediante una proyección. Por ejemplo, los puntos de la circunferencia C pueden proyectarse desde el punto P en los puntos de la elipse E.
Dado un punto A cualquiera de la circunferencia, basta con trazar la recta que pasa por P y por A y hacer la intersección de dicha recta con la elipse para encontrar el punto A’ que le corresponde. Y viceversa: si partimos de un punto A’ cualquiera de la elipse, la intersección de la recta PA’ con la circunferencia nos dará el correspondiente punto A. Esto es lo que se llama la proyección de una figura sobre otra realizada desde el punto P. Y es en este sentido que afirmamos que la circunferencia y la elipse son proyectivamente equivalentes.
Un punto de partida
A veces existe una idea equivocada respecto la creación, ya sea científica o artística, en el sentido de que se puede crear algo a la partir de nada, una cualidad privativa de los dioses. La creación es una forma de mutación que tiene lugar a partir de objetos existentes, que sugieren nuevas formas artísticas o nuevos conceptos científicos. Lo que sí parece comprobado es que lo que se consideran grandes creaciones han sido el resultado de un “golpe de intuición” junto con unas buenas dosis de audacia. El caso de la Geometría Proyectiva es un buen ejemplo de este tipo de dinámica creativa. El punto de partida de Poncelet fue un teorema de geometría debido al matemático francés Girard Desargues publicado en 1639 y que es conocido en Matemáticas como el “Teorema de Desargues”.
Teorema de Desargues
Supongamos que partimos de dos triángulos, ABC y A’B’C’ situados en el espacio, tales que uno se pueda obtener del otro a través de una proyección. Si prolongamos ahora cada uno de los lados de los dos triángulos obtendremos tres puntos de intersección:
AB y A’B’ se cortan en el punto P
AC y A’C’ se cortan en el punto O
BC y B’C’ se cortan en el punto Q
El teorema de Desargues afirma que los puntos O, P y Q están sobre una misma recta.
El punto del infinito
¿Qué sucede si dos de los lados de los triángulos, por ejemplo BC y B’C’, son paralelos? Pues que las dos rectas en cuestión no se cortan y que sólo tendríamos los puntos O y P, que determinarían una recta paralela a la determinada por OP.
Poncelet, en vez de considerar esta situación como un caso particular del Teorema de Desargues, lo que hizo fue cambiar la estructura del espacio euclídeo, incluyendo en la recta OP el punto del infinito. Y este fue su verdadero golpe de audacia. Consideró que toda recta contenía un punto ideal que era el punto del infinito, transformando así el plano euclídeo en otro diferente, que él bautizó como “plano proyectivo”, un espacio en el que dos rectas se cortan siempre, ya que si son paralelas, lo hacen en el punto del infinito. El resultado, casi inmediato, de este descubrimiento fue comprobar que éste y otros teoremas similares admitían formulaciones y demostraciones mucho más sencillas que las que se obtenían con las herramientas de la geometría euclídea.
Continuará…
