Para los griegos, la Geometría era inseparable de las figuras. Plantearse un problema en el que intervinieran planos, rectas o figuras más complejas se hacía siempre con la ayuda de dibujos. Con la Geometría Analítica este tipo de problemas se puede resolver “a ciegas”, constituyendo así una herramienta que se muestra especialmente eficaz en aquellos problemas en los que la intuición geométrica es más un estorbo que una ayuda.
Las figuras geométricas están formadas por puntos. La posibilidad de asignar números a estos puntos de manera única, hace posible que los problemas de Geometría se conviertan en problemas de Álgebra. Esto se consigue definiendo un sistema de coordenadas con uno, dos o tres números, según que estemos trabajando en la recta, el plano o el espacio, respectivamente.
Coordenadas en la vida cotidiana
Casi todo el mundo ha jugado alguna vez a “barquitos”, un juego en el que se rellenan casillas en un papel cuadriculado y cuyo conjunto simboliza una flota naval. Los jugadores se ocultan el uno al otro la posición de los barcos y mantienen una conversación del tipo:
-3-B
-Agua. 2-A
-Tocado. 4-F
-¡Hundido!
Lo que en realidad están haciendo los jugadores es transmitirse las coordenadas en las que esperan encontrar algún barco enemigo. La disposición suele hacerse tomando números en el lado horizontal y letras en el vertical. Según esto, tendríamos un submarino en 3-F y un acorazado ocupando las coordenadas 2-B, 3-B, 4-B y 5-B. El tomar números y letras en uno u otro lado es una cuestión puramente convencional. Podríamos incluso haber tomado números tanto para las horizontales, como para las verticales y especificar la situación del submarino indicando (3, 6).
Éste es un sistema que nos podría permitir representar un dibujo sencillo mediante parejas de números. Por ejemplo, el dibujo de la siguiente figura:
se podría representar dando las parejas de números: (2, 2) (3, 3) (4, 2, (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 3), (7,3), (8,3), (9, 2) y (9, 3). En principio no habría límite para llevar a cabo una representación de este tipo. Todo es cuestión de hacer una cuadrícula con un número muy grande de cuadrados y proporcionar una larga lista de parejas de números. De hecho, ésta es la forma en como se obtienen las imágenes en un monitor.
Incluso se cuenta que el concepto que dio lugar al invento de la televisión nació cuando un estudiante que se encontraba lejos de su hogar quiso, en las fiestas navideñas, transmitir un mensaje en el que pudiera enseñarles a sus padres cómo era la decoración navideña de la casa en la que vivía. Para ello les envió un conjunto de pares de números que debían rellenar en una cuadrícula.
Si en la pantalla del ordenador vamos haciendo ampliaciones sucesivas de una imagen cualquiera, llegaremos a ver la cuadrícula en cuestión. Cada uno de los pequeños cuadrados recibe el nombre de “píxel”. Lo que hace un programa para mostrar una imagen es asignar a cada coordenada o píxel, es decir, a cada pareja de números, un determinado color. La imagen tendrá mayor calidad cuanto mayor sea el número de píxeles por unidad de área, o sea, cuanto más densa sea la retícula que empleamos. Actualmente las cámaras de fotografía digital superan los ocho millones de píxeles.
Coordenadas cartesianas.
El gran hallazgo de Descartes fue el asignar números a los segmentos con los que se construían las figuras geométricas. Esto, a pesar de ser una idea genial, todavía estaba lejos de constituir un sistema de coordenadas, y más lejos aún de lo que acabaría siendo la Geometría Analítica, pero el condimento fundamental ya estaba en el caldero.
Veamos cómo se produce el paso de una concepción a otra. En primer lugar debemos considerar la llamada “recta real”, es decir, una recta en la que cada uno de sus puntos viene representado por un número real. En ella consideramos un origen, en el que situamos al número cero. Hacia la derecha de este punto están todos los números positivos y hacia la izquierda los negativos.
Un segmento cualquiera puede venir representado en dicha recta sin más que dar dos números, uno para el origen y otro para el extremo de dicho segmento. Por ejemplo, podemos hablar del segmento de origen en 3 y extremo en 7. Descartes asociaba el número 4 a dicho segmento, que es su longitud.
Es evidente que un mismo segmento puede ocupar diferentes posiciones. Lo importante es que hemos definido un sistema de coordenadas en una recta y que de lo que nos interesa hablar es de “puntos”. Cuando hablemos del punto 3 o del punto –14, sabremos perfectamente de qué estamos hablando. También podríamos hablar del conjunto de todos los puntos comprendidos entre 3 y 7, ambos incluidos, con lo que estaríamos haciendo referencia al segmento anterior. Este es un sistema de coordenadas que hemos definido para un espacio de dimensión uno, para lo cual nos ha bastado con una recta y un punto de referencia en la misma que hemos tomado como cero.
En el caso de dimensión dos, los puntos estarán situados sobre un plano. Para definir sus posiciones se toman dos rectas perpendiculares a los que llamaremos “ejes de coordenadas”. El punto en el que dichas rectas se corten será el “origen de coordenadas”. En cada una de las dos rectas tendremos números positivos y números negativos. En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. En la vertical los positivos están por encima del origen y los negativos por debajo.
Una vez establecido este esquema, determinar las coordenadas de un punto es muy sencillo. Por ejemplo, dadas las coordenadas (3, -2), no tenemos más que tomar tres unidades a la derecha en el eje horizontal y levantar una perpendicular por ese punto; y luego levantar dos unidades en el eje vertical por debajo del origen y trazar una perpendicular a dicho eje por este punto. El lugar en donde se cortan las dos perpendiculares que hemos trazado en donde se encuentra el punto de coordenadas (3, -2):
Todos los objetos que hemos descrito hasta ahora reciben en Matemáticas nombres propios. A los ejes se les llama “ejes de coordenadas”. Al horizontal, “eje de abcisas”, y al vertical “eje de ordenadas”. Según esto, el punto (3, -2) es el punto de abcisa 3 y ordenada –2. Es habitual designar a las abcisas con la letra x y a las ordenadas con la letra y, razón por la que al eje de abcisas (el eje horizontal) se le denomina también, en términos más coloquiales, el eje de las “equis”, o eje X; y al de ordenadas eje de las “ies”, o eje Y. También se habla de cuadrantes para referirnos a las 4 zonas que quedan delimitadas entre los ejes de coordenadas, empezando por el Primer Cuadrante, que es el espacio delimitado por los semiejes positivos OX y OY, y continuando en sentido contrario a las agujas del reloj.
Coordenadas espaciales
De la misma forma que se ha definido un sistema de coordenadas en el plano, se puede también definir en el espacio. Lo único que tenemos que hacer es trazar un tercer eje, al que llamaremos eje de las “zetas” o eje Z, que sea perpendicular al plano determinado por los otros dos. La tercera coordenada de un punto, la z, será la altura correspondiente sobre dicho eje. De esta forma, problemas de cierta complejidad en los que estén involucrados planos y rectas se podrán también resolver por métodos algebraicos.
Dimensiones
Hemos visto hasta ahora que un punto en un espacio de dimensión 1 viene dado por una coordenada: P(x), en un espacio de dimensión 2 por dos coordenadas P (x, y) y en un espacio de dimensión 3 por tres coordenadas P (x, y, z). Se acostumbra también a utilizar una sola letra con un subíndice para indicar la coordenada de la que se trata, así P(x1); P(x1, x2); P(x1, x2, x3) indican puntos en la recta, el plano y el espacio respectivamente.
Llegados a este punto nada nos impide plantearnos la posibilidad de hablar de las coordenadas de un punto en un espacio de 4 dimensiones P(x1, x2, x3, x4) y, más en general, en un espacio de n dimensiones, con puntos de la forma P(x1, x2, … xn). Con las definiciones adecuadas, se puede trabajar con la misma soltura en un espacio de 3 dimensiones que en uno de 25, e incluso con espacios de dimensión infinita, que no representan ningún tipo de rareza matemática.
Naturalmente, a partir de la tercera dimensión se pierde en gran medida la intuición geométrica, pero subsisten las técnicas necesarias de cálculo algebraico para resolver problemas. Existe una cierta mitificación popular respecto a los espacios de dimensión superior a tres, y es que una cosa es trabajar matemáticamente con ellos y otra muy diferente intentar imaginar cómo sería la vida en el interior de uno de esos espacios.
Las distancias y el teorema de Pitágoras
Una vez establecido un sistema de coordenadas se puede definir la distancia entre dos puntos. En espacios de una dimensión, la distancia entre dos de sus puntos es la longitud del segmento comprendido entre ambos. Si los puntos son P y Q, la distancia entre ambos, que simbolizaremos como d(P, Q), vendrá dada pues por el valor absoluto de la diferencia:
d(P, Q) = |P – Q|.
Recordemos que el valor absoluto de un número es igual a valor positivo de dicho número. Por ejemplo:
|3| = 3 y |- 3| = 3
Para que una distancia esté bien definida se debe cumplir siempre que
d(P, Q) = d(Q, P)
es decir, que no debe depender del orden en que se tomen los puntos. Además, la distancia debe ser siempre un valor positivo; ésta es la razón por la que se toman valores absolutos. Por ejemplo, la distancia entre los puntos 4 y 9 no es
4 – 9 = – 5
ya que según la hemos definido
d(4, 9) = |4 – 9| = |- 5| = 5.
Veamos cómo se define la distancia entre puntos en el caso de dimensión dos, es decir, entre puntos de un plano. Supongamos que tenemos dos puntos cualesquiera P y Q cuyas coordenadas vienen dadas por (a, b) y (c, d). Al representar ambos puntos en el plano cartesiano nos queda definido un triángulo rectángulo POQ. Las longitudes de los catetos de este triángulo son conocidas: PO = c – a y OQ = d –b.
Para encontrar el valor de la hipotenusa PQ aplicamos el teorema de Pitágoras
(PQ)2 = (PO)2 + (OQ)2 = (c – a)2 + (d – b)2
con lo que
que nos proporciona la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano. Por ejemplo, la distancia entre los puntos P(3, 5) y Q (-2, 7) sería, según esto,
Veamos ahora qué sucede si ampliamos el número de dimensiones a tres. Supongamos que queremos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio P(a, b, c) y Q (d, e, f). Ahora también nos vamos a apoyar en el teorema de Pitágoras, pero aplicándolo en dos etapas sucesivas. La distancia que tratamos de encontrar es la diagonal de un paralelepípedo rectangular (una caja de zapatos).
Los dos triángulos rectángulos a los que vamos a aplicar el teorema de Pitágoras son los que están coloreados en lila y en amarillo, el primero en posición horizontal y el segundo vertical. En el primero de ellos, el lila, los valores de los catetos son |d –a| y |e – b| con lo que el valor de la hipotenusa vendrá dado por:
Consideremos ahora el triangulo rectángulo de color amarillo, uno de cuyos catetos acabamos de calcular. El otro cateto, el vertical, tiene una longitud |f – c|, por lo que volviendo a aplicar el teorema de Pitágoras tendremos que el valor de la hipotenusa que buscamos será:
que nos proporciona la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio:
Por ejemplo, la distancia entre los puntos P(2,-1,6) y Q(1,5,3) sería:
Esta definición de distancia se puede generalizar a espacios de dimensión cualquiera. En general, para un espacio de dimensión n la distancia entre dos puntos P(x1, x2, …, xn) y Q(y1, y2, …, yn) viene dada por la fórmula:
Observemos que, al basarnos en el teorema de Pitágoras para obtener las correspondientes fórmulas de la distancia entre dos puntos, hemos obtenido, a su vez, una generalización de dicho teorema para dimensiones superiores a dos.
Ecuaciones cartesianas
En general, una ecuación es una expresión en la que aparecen dos miembros, en los que figuran números o letras, separados por un signo igual. La expresión y = 2 es por tanto, aunque sea muy simple, una ecuación. En un plano cartesiano, el conjunto de puntos cuyas coordenadas cumplen esta ecuación forman una recta paralela al eje X y que pasa por el punto (0, 2).
La ecuación como y = x representa también una recta, que es la formada por aquellos puntos cuyas dos coordenadas son iguales. Se trata, por tanto, de la bisectriz del primer cuadrante, o sea, la recta que divide a este ángulo recto en dos ángulos iguales de 45º cada uno. Hay que tener en cuenta que la ecuación y = x es la misma que y – x = 0 o que x – y = 0. Siempre que una ecuación las letras x o y no estén elevadas a ningún exponente, representa a una recta en el plano. Son, por ejemplo, ecuaciones de rectas:
y = 3x – 2
6y –8x = 0
-2y = 6x +1
La representación gráfica de una recta es muy sencilla, ya que para ello bastan dos puntos. Lo más cómodo es determinar los puntos en que la recta en cuestión corta a los ejes de coordenadas.
Esto se hace de la siguiente forma: supongamos que queremos representar la recta
y = 3x – 6.
En el punto en el que esta corta al eje de abcisas, la ordenada tiene que valer cero. Por tanto haciendo y = 0 en la ecuación nos quedará
0 = 3x – 6
o lo que es lo mismo
3x = 6
y por tanto
x = 6/3 = 2
De forma análoga, haciendo x = 0 nos queda y = -6.
Por lo tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son (2, 0) y (0, -6) con lo que ya podemos dibujar la recta.
También es posible representar mediante puntos figuras más complejas, como circunferencias, elipses y, en general, cualquier tipo de cónica. Lógicamente las ecuaciones que las representan serán también más complicadas, como la ecuación
x2 + y2 = 9
que representa una circunferencia con centro en el origen y radio 3 o
que representa a una elipse con centro en el origen de coordenadas y de semiejes 2 y 3.
También se pueden emplear desigualdades para representar regiones concretas del plano. Por ejemplo, el conjunto de puntos x e y que cumplen la condición
representa la superficie encerrada en el rectángulo de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 1) y (0,1)
Geometría de coordenadas
Ya hemos visto que la posibilidad de representar los puntos y las rectas del plano mediante un sistema de coordenadas permite tratar los problemas geométricos como cuestiones algebraicas. La representación gráfica de estas figuras en un plano puede ayudar, en algunos casos, a comprender mejor o a intuir determinadas soluciones, pero no es en absoluto necesaria para la resolución “analítica” del problema, que puede resolverse totalmente a “ciegas”. Por ejemplo, hallar la intersección de las rectas
2x –3y = 1
x + y = 0
significa encontrar un punto común a ambas o, lo que es lo mismo, un valor de x y otro de y que satisfaga simultáneamente a ambas ecuaciones. Estos valores resultan ser x = 1/5 e y = -1/5, por lo que ambas rectas se cortan en el punto de coordenadas (1/5, -1/5).
También puede saberse, sin hacer ninguna representación gráfica, la posición relativa de dos rectas tales como:
y = 2x – 8
y = 2x +35
que son paralelas (una vez despejada la y, dos ecuaciones como éstas representan rectas paralelas siempre que el coeficiente de la x sea el mismo). Por el mismo método pueden conocerse las posiciones relativas de rectas y planos en el espacio y resolver problemas más complejos que involucren a las cónicas. Esta es, en esencia, la idea básica sobre la que se fundamenta la Geometría Analítica.
