Durante siglos hemos quedado cautivados por la belleza de una Geometría perfecta, la de Euclides. Los fractales nos dejan ahora a las puertas de su inquietante belleza, la de la Geometría Fractal
En los laberintos de la Geometría Fractal
Supongamos que queremos medir la longitud de la costa mediterránea que va, por ejemplo, desde Barcelona hasta Alicante. Una primera aproximación la tendríamos tomando una regla y uniendo los dos puntos mediante una recta. Medimos la longitud del segmento, lo multiplicamos por la correspondiente escala del mapa y tendremos una medida aproximada de la longitud de la costa. Está claro que ésta no va a ser una buena aproximación.
Otra forma mejor de hacerlo sería tomar un compás de dos puntas, abrirlo a una distancia de un centímetro e ir recorriendo con él la costa paso a paso. Sumando todos los pasos tendremos la longitud de la costa. Esta aproximación será mejor que la anterior. Sin embargo, como la costa no forma una línea uniforme, cada vez que giramos el compás para situarnos en el punto siguiente vemos que no hemos recorrido el perfil de la costa. Si el mapa es detallado, con la abertura del compás habremos abarcado toda una entrada, un pequeño golfo, o un saliente, o un cabo. Está claro, pues, que cuanta más pequeña sea la abertura de nuestro compás, más precisa será la medición.
Longitud infinita
Nos encontramos ante una situación paradójica: cuanto más pequeña sea la amplitud del compás, más larga es la longitud de la costa que va desde Barcelona a Alicante y este juego de “menos, entonces más” no tiene fin, ya que el detalle con el que podríamos representar la costa puede ir aumentando tanto como queramos. Si estamos tumbados en una roca junto al mar tomando el Sol podemos apreciar el detalle de su intrincada forma, como un modelo en miniatura de la costa que intentamos medir. Nos encontramos ante un fractal y la Geometría Euclídea de la que estamos acostumbrados a servirnos para hacer nuestros cálculos de longitudes no nos sirve; es necesaria una Geometría Fractal.
Dimensión fractal
En la Geometría Euclídea tenemos un concepto muy intuitivo de la dimensión de un objeto: una línea cualquiera, como el cable de la luz, tiene dimensión uno; un plano, como la superficie de la mesa en la que estamos trabajando, tiene dimensión dos, y una esfera o cualquier cuerpo sólido tiene dimensión tres. También hemos oído hablar de espacios de dimensión cuatro (en la Teoría de la Relatividad, cuando se hace intervenir el tiempo), aunque esto ya no tenga nada de intuitivo. Pues bien, la característica de un fractal es que su dimensión no es un número entero. La costa que estamos intentando medir no tiene dimensión uno ni dimensión dos, sino que vale 1,25. La definición precisa de lo que es en realidad la dimensión fractal encierra ciertas complejidades matemáticas, pero aún así, conserva ciertas dosis de intuición. Por ejemplo, que una línea costera tenga una dimensión fractal de 1,4 frente a otra que la tenga de 1,2 da una idea de que la primera tiene una mayor rugosidad que la segunda.
La costa atlántica africana tiene una dimensión fractal relativamente baja, de 1,1 frente a los 1,25 de la costa mediterránea. De hecho es de la más bajas, lo que da una idea de que dicha costa africana es de las más “lisas”, sin tener en cuenta, por supuesto, las de la Antártida, que son las que tienen la dimensión fractal más baja.
El movimiento fractalista: El llamado “Movimiento Fractalista”, nacido a principios de 1998, agrupa a un grupo de pintores contemporáneos que forman parte del “grupo de Arte y Complejidad“. Son los llamados pintores “fractalistas” que elaboraron un manifiesto en el que expusieron las ideas fundamentales a las que se adherían.
El manifiesto del grupo “Arte y Complejidad”
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Con esta entrada participamos en la segunda edición del Carnaval de las matemáticas.
Si queréis ampliar vuestros conocimientos sobre Fractales tenéis otro post del Carnaval de las matemáticas sobre ellos en Francis (th) E mule Science’s News
