En algunos medios, generalmente científicos, la expresión: ¡Se trata de un crecimiento exponencial! es casi como mentar al diablo, ya que puede significar que se trata de un comportamiento incontrolable, y no necesariamente en un laboratorio de biología, ya que este tipo de comportamientos también puede disparar las alarmas en un centro informático de programación.
Imaginemos que tenemos una bacteria medrando en lo que los biólogos llaman una placa de Petri, es decir, nadando en un medio en el que puede alimentarse y reproducirse. Esta bacteria, al cabo de veinte minutos, habrá dado lugar a otras dos. Cada ciclo de veinte minutos se repite la operación, de forma que cuando hayan pasado 40 minutos habrá cuatro bacterias y al cabo de una hora ya serán ocho las bacterias que cohabiten en la placa. Cada una de estas bacterias pesa realmente poco, alrededor de una billonésima de gramo (0,000000000001 grs.) o sea que hacen falta un billón de bacterias para que pesen un gramo. Pues bien, la pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuál será el peso de este cultivo al cabo de 48 horas?
Recordemos que se empieza con una bacteria que se reproduce cada veinte minutos. Si le plantea esta pregunta a alguien puede estar plenamente convencido de que ganará una apuesta, ya que el error en la respuesta, incluso entre gente bregada en números, suele ser monumental. El peso final del cultivo sería el equivalente a unas 4.000 veces el peso de la tierra.
Esto no va a suceder en la pequeña placa de Petri, debido a que en el cultivo se llega a una etapa estacionaria, en la que los excedentes contaminan el ambiente de nutrientes y las bacterias dejan de reproducirse. Pensemos que cuando esto no es así, las bacterias “malas” pueden fulminar a una extensa población humana en relativamente poco tiempo.
Estos resultados, que siempre nos sorprenden por sus desmesuradas proporciones, responden a un tipo comportamiento que en Matemáticas recibe el nombre de crecimiento exponencial. La mayoría de los crecimientos de población son de este tipo y las cifras que se manejan nunca dejan de sorprendernos. Por ejemplo, una pareja de ratas que en cada estación (primavera, verano, otoño e invierno) se reprodujera dando lugar a otras cuatro, llenaría con creces toda la faz de la Tierra en tan sólo 60 generaciones.
Un par de definiciones
Se dice que una sucesión de números crece linealmente cuando tienen una tasa de aumento constante, es decir, cuando cada uno de ellos se puede obtener del anterior sumándole una cantidad fija. Por ejemplo:
1, 4, 7, 10, 13, 16,…
en la que la tasa de aumento es tres, que es la cantidad fija que hay que sumar a cada número para obtener el siguiente. En cambio, cuando esta tasa de aumento depende del número en cuestión, de manera que cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, se dice que la serie tiene un crecimiento exponencial, como es el caso de
2, 4, 8, 16, 32, …
en el que cada elemento de la serie se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, que en este caso es dos. Estas dos series también reciben los nombres respectivos de serie aritmética y serie geométrica.
El timo del ajedrez
Existe una leyenda, que se utiliza como ejemplo casi proverbial, sobre el crecimiento exponencial, y que cuenta que cuando el inventor del juego del ajedrez se lo mostró al rey, éste quedó tan contento con el invento que le dijo que le pidiera lo que quisiera como regalo, a lo que el súbdito contestó que se conformaría si le regalaran dos granos de trigo por la primera casilla, cuatro por la segunda, ocho por al tercera y así sucesivamente hasta completar el tablero. El rey, ignorante de lo que se le venía encima, accedió gustosamente, sin saber que toda la producción mundial de trigo no podría cubrir semejante recompensa.
A pesar de que mucha gente conoce la anécdota o ha oído hablar de ella, no es difícil, aún hoy en día, embaucar a alguien con un “pago” de este tipo. Basta con proponerle que deposite dos céntimos de euro en la primera casilla, cuatro en la segunda, ocho en la tercera, etc. No es necesario que haga un contrato ante notario, ya que jamás nadie podría pagar una cantidad que no se alcanza, ni de lejos, con el producto nacional bruto de toda la humanidad a lo largo de su historia, ya que hablamos de una cantidad muy superior a los ciento ochenta y cuatro mil billones de euros, 84.4672440.7371095.516,16 para ser exactos.
Los tipos de interés
Un ejemplo cotidiano que permite comparar el comportamiento lineal con el exponencial es el de los tipos de interés simple y compuesto. Supongamos, aunque sea mucho suponer, que depositamos en una entidad bancaria 1.000 euros a un interés simple del 5% anual. El primer año obtendremos un capital de 1.000 + 50 = 1.050 euros, el segundo año de 1.050 + 50 = 1.100 euros, el tercero 1.100 + 50 = 1.150. Se trata de un crecimiento lineal en el que cada término se obtiene del anterior sumándole 50. En cambio, si se trata de una imposición a diez años con un interés anual compuesto del 5%, aplicando la fórmula
C = C0(1 + i)N
en donde C0 es el capital inicial, i el interés y N el número de años, se tiene la siguiente sucesión:
1.000, 1.000(1 + 0,05), 1.000(1 + 0,05)2; 1.000(1 + 0,05)3, 1.000(1 + 0,05)4; …
y haciendo operaciones:
1.000; 1.050; 1.102,5; 1.157,6; 1.215,5,…
en el que cada término se obtiene del anterior multiplicando por un factor 1,05.
Haciendo una tabla comparativa de los dos tipos de interés (eliminado decimales)
| meses | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| interés compuesto | 1050 | 1102 | 1157 | 1215 | 1276 | 1340 | 1407 | 1477 | 1551 | 1628 | 1710 | 1795 |
| interés simple | 1050 | 1100 | 1150 | 1200 | 1250 | 1300 | 1350 | 1400 | 1450 | 1500 | 1550 | 1600 |
vemos que la diferencia entre ambos tipos de interés es muy pequeña en los primeros meses y que se va haciendo progresivamente mayor, conforme pasa el tiempo. Si representamos estos valores en un par de ejes, de forma que en el eje horizontal figuren los meses y en el vertical el capital obtendremos los siguientes doce puntos:
Al unir entre sí estos puntos vemos cómo el correspondiente al interés compuesto (en rojo) tiende a subir más deprisa que el correspondiente al interés simple (en verde). Si se hubiera tratado de una inversión a dos años, en el mes 24 (que no figura en la tabla) el capital correspondiente al interés compuesto sería de 2.653 euros, mientras que el correspondiente al interés simple de 2.100, con lo que puede apreciarse que la diferencia es notable.
Visualizar
La gráfica anterior es clarificadora, pero no es matemáticamente correcta, ya que una exponencial viene siempre representada por una curva; una curva que “sube” tan rápidamente que normalmente es necesario cambiar la escala del eje vertical en relación con el horizontal para poderla representar. En la siguiente gráfica están representados un comportamiento lineal del tipo
2, 4, 6, 8, …
en color rojo, y uno exponencial
2,4,8,16,…
en verde. La escala en el eje vertical se ha hecho cinco veces más pequeña para poder dibujar la curva. Se puede observar cómo, partir del punto dos, la curva se dispara muy rápidamente hacia arriba alejándose de la recta. La primera es una función del tipo 2x, lo que quiere decir que obtenemos la serie haciendo que x sea igual a 1, 2, 3, ..En cambio la segunda tiene la forma 2x y para obtener la serie deben multiplicarse por dos los números 1, 2, 3, …
Veamos qué es lo que sucede si en vez de multiplicar por dos cada uno de los números, los elevamos al cuadrado, es decir, si construimos la serie que viene expresada por x2:
| serie original x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| elevar al cuadrado x2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| elevar a 2 al número de la serie 2x | 1 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
En una tabla comparativa vemos que en esta nueva “carrera”, la serie exponencial alcanza a x2 en el número cuatro, para el que ambas series toman el valor 16, pero a partir de aquí, la exponencial se separa cada vez más (en azul en la gráfica).
La pregunta obligada ahora es qué pasaría si en vez de la potencia dos utilizáramos una potencia mayor, por ejemplo cinco. No escribimos la tabla correspondiente porque sería excesivamente larga, pero observemos que para el número ocho se tiene
85 = 32.768
que es muy superior al valor de 64 que le correspondería a la serie exponencial. ¿Quiere esto decir que la serie
15, 25, 35, 45, ..,
crece más deprisa que la
21, 22, 23, 24 ,25,… ?
Hasta cierto punto. Y nunca mejor dicho, ya que es a partir de un cierto punto que, con seguridad, la exponencial empezará a aventajar a la otra. Por ejemplo, para el número 50 se tiene que
505 = 312500000
mientras que
250 = 1125899906842624
Es decir que, con seguridad, en el número 50 ya hemos rebasado el punto en el que la exponencial se aleja drásticamente de su competidora.
Se puede demostrar matemáticamente que no existe ninguna función del tipo xn cuyo crecimiento sea mayor que el de la exponencial 2x. Es más, esta función siempre acaba por crecer mucho más rápidamente que cualquiera que venga expresada por un polinomio, es decir, por sumas de potencias del tipo
x, x2, x3, x4,…
como podría ser, por ejemplo, una expresión del tipo
3x5 + 4x4 + 3x2+ 8
Este hecho tiene una importancia crucial en ciertas cuestiones de programación informática. Cuando se pretende resolver un determinado problema mediante la implementación en un ordenador de un programa informático, es vital que el número de pasos que éste deba realizar aumente de forma polinómica conforme crece la complejidad del problema, es decir, conforme crece el número de datos que se introducen en el programa.
Cuando esto no es así, sino que el tiempo de resolución del programa crece de forma exponencial, en función de los datos introducidos, el tiempo de realización, o sea el tiempo que debe estar trabajando la máquina para obtener el resultado deseado, se dispara de forma tal que hace inviable la realización del mismo. La mayoría de los programas criptográficos que se utilizan para preservar la privacidad de determinados datos, ya sean personales, bancarios o militares, basan su seguridad en este hecho. Existen programas para “romper” estos secretos digitales, pero requieren tiempos de ejecución imposibles, de miles de millones de años, algo que ya no sorprenderá a quien tenga una idea clara de lo que significa un crecimiento exponencial.
La visión de Malthus
Las gráficas comparativas del crecimiento lineal y el exponencial permiten “visualizar” de forma rápida determinadas situaciones, especialmente si se presta atención al punto en el que la recta y la curva se cortan. Thomas Robert Malthus (1766-1834) fue un economista británico, discípulo de Adam Smith, que en un trabajo titulado “Primer ensayo sobre la población” planteó la tesis de que la capacidad de crecimiento de la población era mayor que la capacidad de la Tierra para producir alimentos.
Afirmaba que “basta con poseer las más elementales nociones de números para poder apreciar la inmensa diferencia a favor de la primera de estas dos fuerzas”, con lo que estaba comparando el comportamiento lineal y exponencial de ambas tendencias.
En la representación gráfica de ambos comportamientos se observa cómo, hasta no alcanzar el punto en que ambas líneas se cortan, la producción de alimentos es superior a la de la población. Pero a partir de ese punto la curva de población se aleja de manera drástica de la recta que representa la provisión de alimentos, algo que Malthus expresa claramente cuando afirma que “estimando la población del mundo, por ejemplo, en mil millones de seres, la especie humana crecería como los números:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …
en tanto que las subsistencias lo harían como:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
Al cabo de dos siglos y cuarto la población sería a los medios de subsistencia como 512 es a diez; pasados tres siglos la proporción sería 4.096 a 13 y a los dos mil años de diferencia sería prácticamente incalculable a pesar del enorme crecimiento de la producción para entonces.
No entraremos aquí en la valoración de las teorías maltusianas, en cuanto a buscarle las virtudes o los defectos, pero sí se puede destacar el valor ilustrativo de su razonamiento cuando compara con extraordinaria sencillez los comportamientos lineal y exponencial de ambos crecimientos.
El decrecimiento exponencial
El comportamiento exponencial no sólo se pone de manifiesto en el crecimiento, sino que también lo hace en el sentido contrario, en lo que se llama un decrecimiento exponencial. La mecánica es muy similar a la anterior, pero con una tasa de decrecimiento que será proporcional a cada una de las cantidades presentes. Por ejemplo, una cantidad inicial de 100 con una tasa de decrecimiento del 0,5 nos daría la serie de números:
100; 50; 25; 12, 5; 6,25; …
en la que cada número se obtiene del anterior multiplicándolo por 0,5 (o lo que es lo mismo, dividiéndolo por 2). En general, en el decrecimiento exponencial cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que debe ser menor que 1.
Un ejemplo muy característico de este tipo de decrecimiento es el de la desintegración radiactiva. Los núcleos de una sustancia radiactiva se desintegran de forma natural. El tiempo T de semi desintegración se define como el tiempo que ha de transcurrir para que el número N total de núcleos se reduzca a la mitad. Como el número de desintegraciones que se producen es proporcional al número de núcleos radiactivos de la muestra, el proceso de desintegración presenta un decaimiento exponencial.
Pensemos que si T es el tiempo de semi desintegración, quiere decir que, conforme éste va transcurriendo, la muestra M se va reduciendo a la mitad M/2, y en los sucesivos intervalos de tiempo seguirá la pauta M/4, M/8, M/16, … Por ejemplo, el tiempo de semi desintegración del Polonio es de 140 días. En la gráfica se han marcado los días en el eje horizontal y el total de la muestra en el eje vertical. Levantando una recta desde el punto que marca 140 días, vemos que se corresponde (trazando una línea horizontal desde ese punto de la curva) con una reducción a la mitad del total de núcleos radiactivos.
La curva característica del decrecimiento exponencial es la misma que la del crecimiento, pero lógicamente ésta “baja” en vez de “subir”. Este fenómeno tiene una aplicación práctica en la datación de yacimientos arqueológicos y geológicos, de los cuales el más conocido es el del C14 (carbono catorce), un isótopo inestable contenido en la atmósfera, que las plantas asimilan al absorber carbono de la misma. Cuando la planta muere, el C14 empieza a desintegrarse con un período de semi desintegración de 5.568 años. Lo que se hace entonces es medir la proporción del mismo que contienen los restos que se han encontrado y calcular su antigüedad en función de dicho periodo.
Existen otros decaimientos exponenciales menos sofisticados que éste. Es muy probable que el decaimiento del sabor de la fruta o los tomates actuales sigan un proceso de estas características. Otro ejemplo, sugerido por el matemático y divulgador John Allen Paulos, es aquel en el que se afirma que el número de lectores de un texto de divulgación matemática decrece a la mitad por cada fórmula que aparece en dicho texto. Un cálculo rápido nos permitiría afirmar que a estas últimas líneas tan sólo han llegado el 25% de los lectores que empezaron la lectura.
Exponenciales en informática
En los últimos años, la oferta de ordenadores personales se ha basado en el incremento progresivo de sus capacidades, tanto en velocidad del procesador, como en la capacidad del disco duro o de la memoria RAM. En relación a esta última, es curioso destacar que la progresión ha seguido la serie exponencial
| 1 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Actualmente la oferta está ya en las 512 megas de memoria RAM y, como no puede eludir su carácter exponencial, el futuro es fácil de predecir.
