Las cónicas fueron un importante objeto de estudio para los geómetras de la antigüedad. Muchos siglos más tarde se descubrió que estas curvas, creadas por la mente humana, regían las trayectorias de los planetas. Hoy en día son, sin duda, las curvas más importantes que la geometría ha aportado a la física.
Las cónicas son curvas planas que poseen todas ellas una importante unidad geométrica, difícil de apreciar cuando se las define como lugares geométricos o por medio de sus ecuaciones analíticas, pero que se pone claramente de manifiesto cuando se obtienen mediante la intersección de un plano con un cono.
Si cortamos un cono de dos hojas (dos conos infinitamente largos, orientados en sentidos opuestos, de forma que tengan el mismo eje y que los vértices coincidan) con un plano perpendicular al eje obtendremos una circunferencia. Si inclinamos ligeramente el plano, la circunferencia se convertirá en una elipse, que se irá haciendo mayor conforme mayor sea la inclinación que demos al plano. Si continuamos inclinando el plano, llegará un momento en que éste será paralelo a la generatriz del cono, y la intersección de ambos será entonces una parábola. Cuando, por último, el plano sea paralelo al eje del cono, la intersección se convertirá en las dos ramas de una hipérbola. Todas estas curvas, elipse, parábola e hipérbola, son las que reciben el nombre de cónicas (generalmente se considera a la circunferencia como un caso particular de la elipse). Existen también otras maneras de cortar un cono con un plano, para obtener las llamadas cónicas degeneradas, de las que no vamos a tratar aquí. Apolonio, en su obra Las Cónicas, demuestra un conjunto de propiedades que permiten definirlas como lugares geométricos del plano, definiciones que son las que habitualmente podemos encontrar en los libros de texto.
La elipse
La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. De manera que para dibujar una elipse se necesitan dos puntos fijos, que llamaremos F y F’ y una longitud a la que llamaremos l. Si tomamos un hilo que tenga longitud l y clavamos sus extremos en los puntos F y F’, al deslizar el lápiz sobre el papel, de forma que el hilo se mantenga siempre tenso, aparecerá la elipse.
De esta forma, la suma de distancias PF + PF’ se mantendrá constante, ya que es precisamente la longitud l del hilo.
Se llama eje mayor de la elipse al segmento de longitud 2a comprendido entre los puntos A y A’
y eje menor, al segmento de longitud 2b que está entre los puntos B y B’, siendo ambos ejes de simetría de la elipse. Se define la distancia focal como el segmento de longitud 2c que está determinado por los focos F y F’ de la elipse.
Uno de los parámetros que más información nos proporciona sobre la forma que tiene la elipse es la excentricidad e, que se define como el cociente e = c/a. Como el denominador de esta fracción es siempre mayor que el numerador, la excentricidad de una elipse toma valores comprendidos entre 0 y 1
0< e < 1
Cuando e = 0 los dos focos F y F’ se confunden en uno sólo y la elipse tiene la forma de una circunferencia. Conforme la excentricidad va aumentando la forma de la elipse se alarga, hasta el caso extremo en que e = 1 y la elipse se convierte en una recta.
Las cónicas del cielo
Johannes Kepler (1571-1620) publicó en 1609 la Astronomía Nova, en la que enunciaba las dos primeras leyes referentes a las órbitas de los planetas:
Primera Ley: Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
Segunda Ley: Las áreas barridas por la recta que une el sol con el planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Diez años después publicó la tercera ley en el libro Harmonices, Mundi, Libri.
Tercera Ley: Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas.
Tabla de las excentricidades de las órbitas de los planetas
| Mercurio | Venus | Tierra | Marte | Júpiter | Saturno | Urano | Neptuno | Plutón |
| 0,206 | 0,007 | 0,017 | 0,093 | 0,043 | 0,051 | 0,046 | 0,004 | 0,250 |
Las leyes de Kepler fueron un resultado empírico, extraído de sus observaciones. Fue Isaac Newton (1642-1727) quien demostró que las órbitas que se crean a causa de un campo gravitatorio son siempre cónicas y, por lo tanto, no afectaban sólo a los planetas sino también, por ejemplo, a los cometas que giran alrededor del Sol o incluso a todo el Sistema Solar girando alrededor del centro de la Vía Láctea. El famoso cometa Halley tiene, por ejemplo, una órbita elíptica, uno de cuyos focos es el Sol y cuya excentricidad es aproximadamente de 0,967.
Galerías de murmullos
Las elipses tienen la propiedad de que todo radio vector que salga de uno de los focos se refleja en la propia elipse, pasando siempre por el otro foco.
Esta propiedad ha dado lugar a las llamadas “galerías de murmullos”, salas cuyos techos en forma de elipsoide permiten que dos personas, situadas en los respectivos focos, puedan hablar en voz baja, independientemente del ruido ambiente que exista en la sala.
La parábola
La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz
Para dibujar una parábola se toma una escuadra y se coloca uno de los catetos sobre la directriz, luego se corta un hilo de una longitud igual a la del otro cateto.
Un extremo del hilo debe quedar fijado en el foco F y el otro en el extremo B del cateto de la escuadra. Con un lápiz debemos mantener el hilo tirante y pegado a la escuadra y, conforme vayamos deslizando ésta por la directriz, el lápiz irá dibujando la parábola. Como hemos tomado la longitud del hilo igual a la del cateto BH, se cumplirá que:
PF + PB = PH + PB
Por lo que forzosamente PF = PH para cualquier punto P que dibujemos, con lo que se cumple la propiedad que define a una parábola.
Cualquier objeto lanzado con una cierta inclinación y que se vea sometido luego únicamente a la acción del campo gravitatorio, describe siempre una trayectoria parabólica. Este resultado ya fue demostrado por Galileo Galilei (1564-1642) y es la base teórica en la que se basan todos los cálculos de trayectorias de los llamados proyectiles balísticos.
Por tanto, podemos concluir que si se lanza un objeto al aire describirá una trayectoria parabólica. Subirá más alto o llegará más lejos en función de la inclinación y de la velocidad con que lo lancemos. En un tiro parabólico el mayor alcance se obtiene cuando el ángulo de inclinación es de 45 grados. Además la velocidad con que el objeto llega al suelo es la misma con la que fue lanzado.
A partir de una cierta velocidad (llamada velocidad de escape) el objeto sigue, en su constante caída, una trayectoria elíptica (en algunos casos circular) cuyo foco es el centro de la Tierra, convirtiéndose así en un satélite de ésta.
Las parábolas tienen, además, un propiedad geométrica que es la base de muchas de sus aplicaciones más importantes. Supongamos que F es el foco de la parábola y P un punto cualquiera de la misma
La tangente en el punto P forma ángulos iguales con la recta al eje de la parábola y con la que une el punto P con el foco F. Como consecuencia de esto, todos los rayos que incidan en la parábola paralelos al eje deberán pasar por el foco y, viceversa, todos los rayos que partan del foco se reflejarán en la parábola paralelos al eje
Para las aplicaciones prácticas se construyen superficies parabólicas, que son las que se obtienen al hacer girar una parábola alrededor de su eje
Ésta es la forma que tienen, por ejemplo, los faros de los coches, en los que el punto de luz está situado en el foco, para que los rayos emerjan paralelos al faro. Cuando, en vez de como emisora, la parábola se utiliza como receptora
los rayos que se reciben se concentran en un solo punto, que es el foco del paraboloide. En este principio también se basa la construcción de las antenas de los radiotelescopios y las superficies reflectoras de los hornos solares.
En ambos casos, los rayos incidentes provienen de puntos lo suficientemente alejados como para que se puedan considerar paralelos al eje de la parábola.
El arma de Arquímedes
Cuenta la leyenda que Arquímedes, en la defensa de Siracusa, creó una sofisticada arma mediante la cual podía incendiar, desde la costa, los barcos que asediaban a la ciudad. El dispositivo consistía en una serie de espejos parabólicos que, movidos habilidosamente, podían conseguir que el foco de la parábola cayera sobre alguna de las naves atacantes, concentrando así toda la energía solar en un punto, lo que provocaba el incendio de la nave. Seguramente las cosas no fueron tan sencillas, ya que no es un asunto técnicamente fácil de resolver.
La hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
La hipérbola consta de dos ramas, cuyos extremos se extienden hasta el infinito. El dibujo de una hipérbola es un poco más difícil de llevar a la práctica que el de las otras dos cónicas. También se necesitan una regla y un hilo, pero en este caso es imprescindible que la longitud del hilo sea menor que la de la regla y que la longitud de la regla sea más larga que la distancia que hay entre los focos. Una vez establecidas estas condiciones lo que cabe hacer a continuación es fijar uno de los extremos de la regla en uno de los focos
Los dos extremos del hilo deben fijarse, uno al extremo de la regla que ha quedado libre, y el otro al segundo foco. Haciendo deslizar el lápiz sobre el papel y procurando que el hilo esté siempre tirante y pegado a la regla, dibujaremos una de las ramas de la hipérbola. Repitiendo la misma operación, pero cambiando de foco, obtendremos la otra rama. Examinando la figura vemos que, para un punto P cualquiera, se cumplen las igualdades:
PF’ + PM = D
PF + PM = d
Y restando miembro a miembro ambas igualdades nos queda:
PF’ – PF = D – d
Con lo que se verifica la definición que hemos dado para la hipérbola.
Los cometas se mueven en órbitas que pueden ser elípticas, parabólicas o hiperbólicas. Lo más frecuente es que sean del primer tipo, en cuyo caso se trata de cometas que más pronto o más tarde vuelven a visitarnos, ya que siguen órbitas cerradas. En cambio los que siguen una órbita parabólica o hiperbólica no proceden del Sistema Solar y nos visitan una sola vez para volver a perderse luego en las profundidades del universo. En el caso de las órbitas hiperbólicas, que son las que se dan con menor frecuencia, se puede plantear la cuestión de que, al tener la curva dos ramas claramente separadas, un objeto cualquiera no pueda recorrer toda la curva. Aunque teóricamente sí puede hacerlo: se acerca a uno de los focos por una de las dos ramas de la hipérbola, se aleja hasta el infinito y vuelve por la otra rama para rodear el segundo foco.
Podemos comprender mejor este viaje si nos planteamos el siguiente esquema: imaginemos que tenemos dibujada en el infinito una curva en forma de elipse y, ya puestos a imaginar, que la cogemos por los extremos del eje mayor y que la doblamos para traerla hacia delante y darle forma de hipérbola. Ahora es más sencillo ver la trayectoria de un objeto, que después de pasar por el infinito, vuelve por la otra rama de la hipérbola.
Las ecuaciones de las cónicas
El filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) fue el primero en establecer un método que permitiera definir una curva mediante una ecuación matemática, dando lugar al nacimiento de lo que más tarde se conocería como Geometría Analítica.
Este método permitió obtener generalizaciones importantes para determinadas familias de curvas. Las secciones cónicas, por ejemplo, vienen siempre representadas por ecuaciones en las que aparecen con dos variables y cuyo exponente máximo es 2. Las ecuaciones canónicas de las cónicas, la forma más sencilla de representarlas analíticamente, se obtienen situando “convenientemente” dichas curvas en los ejes de coordenadas. Así, la elipse con centro en el origen de coordenadas y ejes de simetría que coincidan con los ejes de coordenadas tiene por ecuación:
en donde a y b son respectivamente los semiejes mayor y menor de la elipse
La hipérbola la podemos representar con centro también en el origen y ejes de simetría que coincidan con los ejes de coordenadas, con lo que su ecuación es de la forma
siendo a y b las distancias representadas en la figura.
Por último, la parábola que tiene su vértice en el origen y foco en el punto (0, p) tiene por ecuación cartesiana:
x2 = 4py
