Los matemáticos de la antigüedad consideraban a la cicloide la más bella de las curvas. Fueron tantos los esfuerzos que dedicaron al estudio de sus sorprendentes propiedades que acabó por llamársele la “Helena de la Geometría”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”.
La cicloide es la curva que se obtiene cuando se hace rodar (sin deslizar) un disco sobre una superficie horizontal. La trayectoria que describe un punto situado en el borde del disco es la curva llamada cicloide (que en griego quiere decir circular). Por cada giro completo del disco se obtiene un arco de cicloide.
La cicloide fue estudiada por Nicolas de Cusa (1401-1464) cuando trataba de encontrar el área de un círculo por integración. Mersenne (1588-1648), que también perseguía el mismo objetivo, fue el primero en definir la cicloide de forma rigurosa. El nombre se lo puso Galileo (1564-1642) en 1599, quien en una carta que escribió a Torricelli (1608-1647) le confesó que había estado estudiando esta curva durante 40 años. A partir de entonces, es larga la lista de matemáticos importantes que se han dedicado al estudio de las propiedades de la cicloide, entre los que se encuentran el mismo Torricelli, Fermat (1601-1665), Descartes (1596-1650), Huygens (1629-1695) e, incluso, Pascal (1623-1662), que llegó a proponer un concurso, con premios en metálico, planteando una serie de cuestiones sobre las propiedades de la cicloide que él ya había descubierto. El concurso se declaró desierto y Pascal publicó sus trabajos.
La tautócrona
Imaginemos que invertimos la cicloide, que la apoyamos luego encima de una mesa y la hacemos girar. Obtendremos una superficie cuya generatriz es la cicloide. Es como si le pidiéramos a un alfarero que nos fabricara un cuenco de manera que la curva que lo define fuera la cicloide. Un objeto así se fabricó (en plástico) y se vendió en los años sesenta en algunas tiendas de objetos curiosos en EEUU. ¿Qué tiene de curioso este cuenco? Pues que si dejamos rodar una canica por su interior, siempre tarda lo mismo en llegar al fondo, no importa la altura desde la que la hayamos dejado caer. No deja de ser curioso observar como dos bolitas, una dejada en el borde superior del cuenco y otra en el lado opuesto, hacia la mitad de la altura, llegan simultáneamente a la parte más baja, motivo por el que esta curva recibe también el nombre de tautócrona (que quiere decir igual tiempo). Esta propiedad fue descubierta por Huygens en 1673.
El péndulo perfecto
Christian Huygens, que además de ser matemático, físico y astrónomo, aún tenía tiempo para hacer importantes contribuciones a la mecánica de los relojes, hacía tiempo que estudiaba la forma de resolver un problema que afectaba a los relojes de péndulo. Cuando se produce una variación en la amplitud del péndulo, el período de oscilación se desajusta. El extremo del péndulo de un reloj describe siempre un arco de circunferencia. A Huygens se le ocurrió que si podía conseguir que describiera una cicloide, no importaría la altura de la que partiera el péndulo en cada oscilación, pues igual que sucedía con la canica en el cuenco, el tiempo que tardaría en llegar a la parte más baja siempre sería el mismo.
Pero ¿cómo conseguir que la curva que describe el péndulo sea un arco de cicloide? La solución a este problema está en una de las propiedades más fascinantes de la cicloide: “la evoluta de una cicloide es también una cicloide”. El concepto de evoluta es demasiado complicado para explicarlo aquí, pero podemos ver en qué se traduce geométricamente dicho resultado. Imaginemos que partimos por la mitad una cicloide y que juntamos ambas mitades en un vértice A, como en la figura.
Si tomamos un hilo de una longitud fija, sujeto al vértice A, y lo extendemos de manera que siempre esté apoyado en alguna de las ramas de la cicloide, el extremo de dicho hilo describe una curva que es también una cicloide. Huygens había encontrado la manera de confeccionar un péndulo autoajustable sin más que darle la vuelta al dibujo anterior, de manera que el movimiento del péndulo quedara constreñido a las dos ramas de cicloide.
La curva más rápida
En junio de 1696 Johann Bernoulli (1667-1748) lanzó un reto dirigido a todos los matemáticos de Europa: si se fijan dos puntos A y B en un plano vertical, de forma que A y B no caigan en la misma vertical ¿cuál es la forma que debe tener una pendiente entre A y B para que un cuerpo dejado caer libremente por ella recorra este espacio en el mínimo tiempo posible? Este problema, la búsqueda de la braquistócrona (menor tiempo), ya se lo había planteado Galileo, quien creía erróneamente que la solución era un arco de círculo cuando, en realidad, es la cicloide la curva de descenso más rápido.
Varios matemáticos dieron la solución dentro del plazo estipulado, que era seis meses. Entre ellos estaban Huygens, Leibniz (1646-1716) y el hermano del promotor del concurso, Jakob Bernoulli (1655-1705). La solución de éste último fue la más original de todas y dio lugar al nacimiento de una rama de las matemáticas llamada Cálculo de Variaciones.
Por otra parte, fue Huygens quien resolvió correctamente la cuestión, sorprendiendo enormemente a Johann Bernoulli, quien dijo lo siguiente: “con justicia podemos admirar a Huygens, por haber descubierto que una partícula pesada describe una cicloide siempre en el mismo tiempo, cualquiera que sea el punto de partida. Pero quedaréis petrificados de asombro cuando os diga que exactamente esta misma cicloide, la tautócrona de Huygens, es la braquistócrona que estamos buscando”.
Una curiosidad relacionada con esto es que un día Newton, que regresaba a su casa vencido por el cansancio de una larga y agotadora sesión en la Casa de la Moneda, se encontró con un amigo que le contó sobre el problema que había planteado J. Bernoulli referente a la tautócrona. Newton lo resolvió después de cenar y al día siguiente envió la solución a la Royal Society, tomando todo tipo de precauciones para ocultar su identidad. A pesar de ello, Bernoulli, al ver la solución, exclamó: “Ah, reconozco al león por su garra”.
Sir Christopher Wren (1632-1723), el arquitecto de la catedral de San Pablo, fue el primero en determinar el centro de gravedad y la longitud de cualquier arco de la cicloide. Sería de esperar encontrarse con el número Pi al hacer el cálculo de su longitud, sin embargo dicho número no aparece para nada en el resultado, ya que la longitud de una cicloide es igual a 8 veces la longitud del radio del círculo que la genera.
El cálculo del área se atribuye al matemático italiano E. Torricelli (1608-1647), aunque independientemente ya había sido calculada por Roberval (1602-1675) en 1634. El área encerrada bajo el arco de cicloide es tres veces la del círculo que la genera. O sea que las zonas 1, 2 y 3 de la figura tienen la misma área.
Actualmente, la cicloide es utilizada de manera habitual. En las construcciones con hormigón armado el arco de cicloide es superior a cualquier otro, motivo por el que se suele ver en los grandes viaductos. Galileo lo aconsejaba para la construcción de puentes, aunque no pudo llegar a demostrar las razones mecánicas que lo apoyaban.
