Cayley fue uno de los matemáticos más representativos del renacimiento del álgebra en Inglaterra. Su teoría de matrices, creada a mediados del siglo XIX, sirvió de herramienta básica para los fundamentos matemáticos de la Mecánica Cuántica.
Arthur Cayley nació en Richmond, Surrey (Inglaterra) el 16 de agosto de 1821. Su padre, Henry Cayley, era un próspero hombre de negocios casado con una rusa. Los primeros ocho años de la vida de Arthur transcurrieron en San Petersburgo. En 1829 la familia volvió a Inglaterra y Henry Cayley se retiró a vivir de sus rentas en Blackheath, mientras que el pequeño Arthur ingresaba en el King’s College School. Las aptitudes matemáticas que claramente manifestó en sus primeros años de estudios hicieron que sus profesores recomendaran al padre de Arthur la continuidad de los estudios de Matemáticas en los cursos superiores, proyecto que se encontró con una cierta oposición por parte del padre, ya que éste tenía previsto que su hijo se dedicara al mundo de los negocios.
De 1838 a 1842, Cayley cursó estudios en el Trinity Collage, graduándose como Senior Wrangler y adjudicándose el premio Smith, en gran parte gracias a tres trabajos matemáticos publicados en el Cambridge Mathematical Journal. Durante los siguientes cuatro años ejerció como profesor de Matemáticas en dicha universidad, publicando 28 trabajos más de Matemáticas. Pero su período de estudios había finalizado y Cayley debía decidir cual iba a ser la profesión a la que iba a dedicar su vida. Probablemente muy influenciado por los planes que su padre ya se había forjado desde hacia tiempo, Cayley optó por la abogacía, profesión a la que se dedicaría durante los catorce años siguientes.
Los ilustres aficionados
La frontera que separa a un matemático profesional de un amateur es difícil de establecer cuando se habla de grandes talentos. ¿Era Einstein un aficionado cuando trabajaba en la oficina de patentes y creó la Teoría de la Relatividad? ¿Es justo el título de “Príncipe de los aficionados” otorgado a Fermat? Lo que en realidad distingue a un profesional de otro que no lo es hay que buscarlo en la nómina, en la procedencia de sus honorarios, más que en el tipo de actividad que realiza. Por otro lado, es sabido que muchos grandes genios de la ciencia pudieron llevar a cabo descubrimientos originales gracias a que no estaban inmersos en una rígida estructura académica. Cayley no fue una excepción, ya que durante los 14 años que trabajó como abogado publicó cerca de 250 trabajos de Matemáticas.
El encuentro con Sylvester
James Joseph Sylvester (1814-1897) fue un matemático inglés que trabajó conjuntamente con Cayley en la Teoría de Invariantes y con el que mantuvo una profunda amistad. Curiosamente también se había dedicado a la abogacía. En 1850, ambos matemáticos tuvieron un encuentro casual. Por cuestiones puramente profesionales, Cayley había acudido a los despachos de la compañía de seguros en la que trabajaba Sylvester. A pesar de que hasta entonces no habían tenido ocasión de conocerse personalmente, sabían lo suficiente el uno del otro gracias a los trabajos que ambos habían publicado y que habían despertado una mutua admiración como matemáticos.
Aquel encuentro, en el que muy pronto la jurisprudencia debió dejar sitio a la teoría de determinantes, fue decisivo para ambos, ya que al poco tiempo dejaron la abogacía para volver a su verdadera vocación, que eran las a la Matemáticas. Sylvester fue a parar al Gresham Collage de Londres y Cayley, después de contraer matrimonio con Susana Moline, a la Universidad de Cambridge, en donde se acababa de crear una nueva cátedra de Matemáticas de la que se hizo cargo. De la labor matemática de Sylvester dan testimonio sus trabajos sobre matrices, las ecuaciones cúbica y cuadrática, así como una importante teoría de discriminantes. De la de Cayley, las novecientas sesenta y seis memorias que dejó escritas después de su muerte.
Es importante destacar la labor que Cayley hizo en relación a la Teoría Abstracta de Grupos. En aquella época el único grupo con el que se trabajaba era el de permutaciones. Cayley amplió el abanico a los grupos de matrices y al de los cuaterniones, elevando la estructura de grupo a la categoría abstracta que tiene actualmente en Álgebra. También realizó un importante trabajo de reunificación de las Geometrías Métrica y Proyectiva e inició los primeros pasos para el estudio sistemático de la geometría analítica en espacios generales de N dimensiones. Pero quizá el más importante de sus descubrimientos fue el de los invariantes, surgido a raíz del estudio que realizó sobre matrices asociadas a transformaciones lineales, ya que las consecuencias de dichos descubrimientos jugaron un papel decisivo sobre los fundamentos de la mecánica quántica.
Un entorno propicio
Cayley tuvo la suerte de nacer en el momento adecuado. El hecho de que el producto de matrices no fuera conmutativo y, lo que era aún más grave, que el producto de dos matrices pudiera ser cero sin que ninguna de las dos lo fuera, podría haberle condenado al ostracismo académico apenas medio siglo antes. En 1815, cuando Inglaterra todavía vivía sumida en el asilamiento científico al que le habían forzado los acólitos de Newton, se fundó la Analytical Society en Cambridge, de la mano del matemático G. Peacock (1791-1858), del astrónomo J. Herschel (1729-1871) y de Charles Babbage (1729-1871), el creador de la primera máquina calculadora.
Se estableció entonces una reforma de la enseñanza que, entre otras cosas, sustituyó el simbolismo fluxional de Newton, por la moderna notación del Cálculo Infinitesimal. Fue entonces, concretamente en 1817, cuando se instauraron los famosos exámenes tripos de Matemáticas, que establecían las categorías wrangler, una forma de distinción al talento matemático (en sus exámenes en el Trinity Collage, Cayley obtuvo el grado de segundo wrangler). Esta reforma situó a Inglaterra en la vanguardia de la especialidad de álgebra y favoreció enormemente las revolucionarias teorías algebraicas de Cayley.
Entre los objetivos que se propuso la recién inaugurada Sociedad Analítica de Cambridge figuraban, además de “dejar el mundo más sabio de lo que lo hemos encontrado”, las que se deducían de un curioso enunciado: promover los principios del “puro d-ismo” en oposición a la “punto-manía” de la Universidad. A lo que en realidad hacía referencia esta críptica sentencia era a que por fin se habían decidido a abandonar las “fluxiones punteadas” de Newton por las “diferenciales de Leibniz”, es decir expresiones del tipo ,
por
.
