Los seres humanos asociamos, de forma inevitable, la simetría con la idea de perfección. Pero la perfección absoluta sólo puede darse en el reino de las ideas y las abstracciones, un reino en el que las Matemáticas ejercen la soberanía absoluta. Existen conceptos matemáticos que son esencialmente abstractos, como lo es, por ejemplo, el de función analítica. Otros, sin embargo, tienen una existencia previa al proceso de abstracción, como es el caso de las simetrías. La simetría es, ante todo, una percepción. Somos seres simétricos y no sólo percibimos claramente las simetrías en el mundo que nos rodea, sino que las buscamos, las creamos y, hasta cierto punto, las necesitamos. Pero cualquier estudio en profundidad de las simetrías, así como de cualquier otro movimiento en el espacio, requiere de un tratamiento matemático que pueda, en primer lugar definirla con precisión, para luego establecer una clasificación y desarrollar, por último, cuales son las leyes por las que se rige. (más…)
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Papiros matemáticos
Los papiros de Rhind y Moscú son en la actualidad los principales documentos históricos de que disponen los investigadores para el conocimiento del nivel que las Matemáticas alcanzaron en la antigua cultura egipcia.
El escriba Ahmes inició un compendio de 87 problemas resueltos escritos en hierática sobre un papiro de 6 metros de largo por 33 centímetros de ancho, que en la actualidad se conoce con el nombre de Papiro de Rhind, con las siguientes palabras: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas exactas y de todos los oscuros secretos y misterios”. Su antigüedad se remonta al año 1650 a.C., aunque se cree que las Matemáticas contenidas en él abarcan cerca de 3.000 años de conocimientos matemáticos. En este texto se explican técnicas para resolver, entre otros, problemas de repartos proporcionales, productos de fracciones, progresiones aritméticas y geométricas, cálculos de áreas y volúmenes y diversas tablas para la utilización de números fraccionarios. Sería imprudente afirmar que es un compendio de toda la Matemática egipcia, ya que se trata a todas luces de un manual de matemáticas elementales, probablemente destinado al uso de escribas y técnicos. (más…)
Los problemas de Hilbert
El 8 de agosto de 1900, se llevó a cabo en París el segundo Congreso Internacional de Matemáticas. David Hilbert pronunció entonces una conferencia que llevaba por título Problemas Matemáticos. Los 23 problemas de esa lista han sido, desde entonces, objeto de culto por parte de toda la comunidad matemática.
Tres años antes de la famosa conferencia de Hilbert, Henri Poincaré (1854-1912), había escrito una conferencia para el congreso de Zurich en la que analizaba las relaciones entre el Análisis Matemático y la Física Matemática. Cuando Hilbert fue invitado para la ponencia central del congreso, consideró que lo mejor para corresponder a tal honor era hacer mención a las ideas de Poincaré, ampliándolas con un tratamiento alternativo. Fue su amigo Minkowski quien le disuadió de esta idea, proponiéndole una línea de actuación completamente diferente. Le sugirió que tratara de enumerar cuáles iban a ser los temas o problemas a los que deberían de enfrentarse los matemáticos en un futuro próximo. De esta forma, Minkowski consiguió que durante más de cien años se estuviera mencionando el nombre de Hilbert entre los matemáticos.
Música y matemáticas
Los números, que según los antiguos son la esencia de todas las cosas, marcan los ritmos, las pautas, los tonos, las armonías. Así es como las Matemáticas habitan en la música; ocultas, silenciosas.
Un instrumento musical es un dispositivo físico capaz de producir lo que se llama una onda de presión, un “empujón de aire” que es capaz de mover la pequeña membrana del oído que llamamos tímpano. La frecuencia de vibración define lo que llamamos el tono, de graves a agudos, que se mide en el número de vibraciones por segundo o Hertzios (Hz). Un diapasón, ese objeto metálico en forma de U que se utiliza para afinar instrumentos, vibra cuando se le da un golpe, a 440 Hz, lo que corresponde a la nota musical “La”.
En este fragmento del teclado de un piano con las frecuencias correspondientes a cada nota, lo que establece una relación directa entre números y notas. El haber llegado hasta esta distribución de frecuencias por la que se rige la mayor parte de la música actual, es una larga historia en la que la Teoría de la Música y las Matemáticas se han cedido el protagonismo la una a la otra.
Etnomatemática
En la última década, la Etnomatemática se ha convertido en una nueva vertiente del conocimiento matemático y en una herramienta imprescindible en la investigación de la enseñanza de las Matemáticas.
El término “etnomatemática”, que todavía no figura en los diccionarios, fue acuñado en los años setenta por el profesor brasileño Ubiratan D’Ambrosio para describir las prácticas matemáticas de grupos que fueran culturalmente identificables. No debe asimilarse, aunque también lo incluye, a estudios centrados en el desarrollo de las Matemáticas de pequeños grupos indígenas.
Paradojas
Las paradojas pueden ser meras curiosidades que figuren en el apartado de Matemáticas recreativas, pero también pueden ser detonantes de intensa investigaciones que desemboquen en la aparición de nuevos paradigmas matemáticos.
“Esta frase consta de siete palabras”.
Este es un enunciado claramente falso, ya que la frase en cuestión consta de seis palabras. Su enunciado contrario es:
“Esta frase no consta de siete palabras”
Que también resulta ser falso, ya que esta vez la frase sí consta de siete palabras. Se trata de un ejemplo típico de paradoja lógica en la que un enunciado y su contrario son falsos. Una paradoja es pues, en una primera aproximación, algo que contradice el sentido común o que da un resultado completamente inesperado.
Construcción de mapas
La Cartografía es una ciencia que ha requerido, a lo largo de su historia, del concurso de la Óptica, la Geología, la Astronomía y, especialmente, de las Matemáticas. No es una ciencia con grandes contenidos metafísicos. No le interesa saber de dónde venimos, ni a dónde vamos, sino conocer con precisión en dónde estamos. Y en ella muestran las Matemáticas, una vez más, su alto contenido pragmático.
Si la Tierra hubiera sido plana, el trabajo de los cartógrafos hubiera sido mucho más sencillo. Por suerte, la Tierra es “localmente” plana y los mapas que delimitan pequeñas regiones no traen excesivos problemas. No es extraño, por tanto, que fueran las grandes civilizaciones las que, al expandir sus fronteras, se vieran en la necesidad de impulsar el desarrollo de la Geografía.
Empaquetamiento de esferas
El problema que plantea el empaquetamiento de esferas ha sido tan mítico como pudiera serlo la cuadratura del círculo o el Teorema de Fermat. Pero a diferencia de éstos, no afecta sólo al ámbito de la Matemática pura, sino que, sorprendentemente, es de vital importancia para las actuales tecnologías.
El “empaquetamiento de esferas” es un tipo de problema matemático que se refiere a cosas tan simples como construir una pirámide con bolas de hierro, amontonar naranjas, embalar pelotas de ping-pong en una caja o, si se quiere algo más sofisticado, tratar de comprender las unidades estructurales de los filosilicatos. En cualquier caso, el asunto estriba en encontrar la forma de empaquetar esferas del mismo radio de manera que dejen los mínimos espacios vacíos posibles.
El asunto guarda ciertas semejanzas con el Último Teorema de Fermat: ambos tienen un planteamiento muy sencillo; se ha estado intentando resolverlos durante más de cuatrocientos años; encierran las suficientes sutilezas como para que mucha gente creyera que había dado con la solución, para verse luego frustrados por pequeños detalles que daban al traste con sus demostraciones, y por último, las soluciones finales han resultado ser de una abrumadora complejidad.
