Archivo de la categoría ‘Topología’

« Entradas anteriores

Teorema de los cuatro colores

El Teorema de los Cuatro Colores está considerado como el más difícil de entre los que tienen el enunciado más sencillo. Su demostración llevó más de 100 años de intensas investigaciones y fue el primer teorema de Matemáticas que se demostró por medio de una computadora.

El juego de los cinco colores

Existe un juego, ideado por Stephen Barr, que es ingenioso y muy sencillo (lo puede jugar un niño) y que ayuda a comprender muy bien la naturaleza del problema de los cuatro colores. Para ello sólo se requiere disponer de un papel, un lápiz y cinco colores. Tenemos dos jugadores a los que vamos a llamar A y B. Al empezar el juego se deja aparte uno de los cinco colores, de forma que para jugar sólo se utilizarán cuatro. Supongamos que empieza el turno el jugador A. Toma el lápiz y traza un contorno cerrado, como si delimitara una región en un mapa. Luego, el jugador B coge uno cualquiera de los colores y colorea la región que ha pintado A y a continuación delimita con el lápiz una nueva región. Pasa el turno a A que debe colorear la nueva región y delimitar una nueva, para pasarle el turno a B. De esta forma va transcurriendo el juego. La única regla es que nunca puede haber dos regiones contiguas con el mismo color. Pierde el jugador que se ve obligado a utilizar el quinto color. Un ejemplo de partida sería

(más…)

Topología

A mediados de los años sesenta la Topología se consolidó como una de las ramas más consistente de las Matemáticas, se convirtió incluso en una especie de Gran Teoría de la Unificación, capaz de cobijar a la Geometría, el Álgebra y la Teoría de Números. Hasta entonces perteneció al dominio del pensamiento puramente abstracto. Por eso no deja de sorprender que, actualmente, sea una poderosa herramienta para la mayoría de las ciencias aplicadas.

La Topología es la rama de las Matemáticas que estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes frente a determinado tipo de transformaciones, como dilatar, contraer o estirar, siempre que en dicha transformación no se hagan coincidir puntos diferentes ni se hagan aparecer otros nuevos. Dos figuras que se pueden obtener la una de la otra mediante transformaciones de este tipo se dice que son topológicamente equivalentes. La Topología incluye como subramas a la Teoría de Grafos, la Teoría de Nudos y la Teoría de Superficies. En general, su lenguaje es muy especializado y requiere de conceptos previos algo complejos. Sin embargo, nociones como la de transformación topológica, curvas de Jordan o el Teorema del Punto Fijo, son muy intuitivas y pueden ser comprendidas sin necesidad de poseer conocimientos previos de Matemáticas, hasta el punto de que, dado su gran interés pedagógico, hay más de una propuesta seria para que sean incluidas en la enseñanza escolar.

(más…)

Empaquetamiento de esferas

El problema que plantea el empaquetamiento de esferas ha sido tan mítico como pudiera serlo la cuadratura del círculo o el Teorema de Fermat. Pero a diferencia de éstos, no afecta sólo al ámbito de la Matemática pura, sino que, sorprendentemente, es de vital importancia para las actuales tecnologías.

El “empaquetamiento de esferas” es un tipo de problema matemático que se refiere a cosas tan simples como construir una pirámide con bolas de hierro, amontonar naranjas, embalar pelotas de ping-pong en una caja o, si se quiere algo más sofisticado, tratar de comprender las unidades estructurales de los filosilicatos. En cualquier caso, el asunto estriba en encontrar la forma de empaquetar esferas del mismo radio de manera que dejen los mínimos espacios vacíos posibles.

El asunto guarda ciertas semejanzas con el Último Teorema de Fermat: ambos tienen un planteamiento muy sencillo; se ha estado intentando resolverlos durante más de cuatrocientos años; encierran las suficientes sutilezas como para que mucha gente creyera que había dado con la solución, para verse luego frustrados por pequeños detalles que daban al traste con sus demostraciones, y por último, las soluciones finales han resultado ser de una abrumadora complejidad.

(más…)

Derecha – Izquierda

El concepto de derecha e izquierda es totalmente intuitivo y lo percibimos como un hecho real e incuestionable. Sin embargo, es consecuencia de una propiedad matemática del espacio en el que vivimos: la orientabilidad.

El concepto de espacio orientable puede ser introducido de forma intuitiva mediante sencillos experimentos que pueden realizarse con un papel y unas tijeras, como la banda de Möbius, uno de los pocos ejemplos de espacio no orientable que podemos visualizar en tres dimensiones. La orientación izquierda-derecha va más allá de las figuras geométricas que se estudian en Matemáticas, ya que conforma la realidad en la que vivimos, desde la formación de las proteínas en el origen de la vida, hasta las partículas elementales constituyentes de la materia.

(más…)

Biografía de Henri Poincaré

Henri Poincaré vivió apasionadamente la belleza de las Matemáticas puras, pero nunca olvidó que las ciencias de la naturaleza necesitaban de ellas, al igual que los grandes edificios necesitan de un armazón sobre los que erigirse.

Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática.

H. Poincaré.

Poincaré fue una figura fronteriza en la historia de las Matemáticas, puesto que se movió en un terreno que estaba a caballo entre las Matemáticas tradicionales y las modernas. Muy frecuentemente se le menciona como el último de los universalistas, lo que significa que abordaba con facilidad campos tan diversos como las ecuaciones diferenciales, la Teoría de Números, el Análisis Complejo, la Mecánica, la Astronomía y la Física matemática. Su genio creativo produjo también nuevas Matemáticas, entre las que se puede destacar su creación más notable, la Topología, con su estudio general sobre la continuidad.

(más…)

« Entradas anteriores