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Las paradojas del infinito

A pesar de la inseguridad metafísica que produce, la idea del infinito parece estar implícita en la naturaleza del ser humano y también, de alguna forma, en su quehacer cotidiano en el momento en que se enfrenta a conjuntos que sabe ilimitados. Pero imaginar y dar cuerpo a números transfinitos es, sino una tarea propia de dioses, sí uno de los mayores logros de la historia del pensamiento humano.

Los conjuntos infinitos han sido durante siglos un verdadero quebradero de cabeza para los matemáticos, hasta el punto de que muchos han negado su existencia. Entre sus múltiples paradojas está la de que se trata de conjuntos que pueden ser equivalentes a una de sus partes. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales está formado por un conjunto infinito de números.

1, 2, 3, 4, 5,…

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El infinito

El infinito, como el espacio, es uno de los conceptos matemáticos que entran de lleno en el terreno de la filosofía. Ambos atañen a la percepción del mundo, por lo que no es de extrañar que la evolución del infinito, como objeto matemático, haya estado muy unida a su concepción filosófica.

La conciencia de que el infinito es inalcanzable trae como consecuencia que no se pueda medir, que carezca de lo que los griegos llamaban, por lo que debe entrar en la categoría del caos, motivo por el que Platón y Pitágoras denominaban al infinito apeiron. Más tarde, Anaximandro le dio a esta palabra un sentido más próximo al que le damos nosotros, significando “lo ilimitado”. Pero fue Aristóteles el que se enfrentó con más audacia y mejor método al problema del infinito, estableciendo en su obra Física, dos clases diferentes de infinito: el infinito potencial, como un proceso constante de crecimiento que no termina nunca; y el infinito actual, concebido como obra terminada. Los matemáticos se debatieron entre estas dos opciones durante siglos, hasta que Cantor, gracias a la potente herramienta que él mismo había creado, la Teoría de Conjuntos, estableció matemáticamente la existencia, no de uno, sino de una infinidad de infinitos actuales.

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Números imaginarios

“El espíritu Divino halló una sublime expresión en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, ese anfibio entre el ser y el no ser que llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”.

Leibniz

Ningún matemático se sentó un día en su mesa y dijo ¡voy a construir los números imaginarios! Aparecieron solos, como fantasmas, en las soluciones de algunas ecuaciones. Y como fantasmas permanecieron durante siglos apareciendo aquí y allá, incomodando a todos con su presencia. La mayoría de los matemáticos estuvieron evitándolos o ignorándolos, hasta que un día, estos fantasmas, los números imaginarios, se integraron con pleno derecho en los cálculos. Se les aceptó como soluciones de ecuaciones y adquirieron una identidad propia, y pasaron a ser un concepto fundamental en las Matemáticas y de presencia obligada en cualquier texto de enseñanza elemental.

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Cálculo de áreas

Pajarito que identifica que el problema está en la zona violeta El problema de hoy se sitúa en la zona violeta.

Hallar el área de la porción de cilindro situada dentro de la esfera «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»36«/mn»«/math»

Para insertar fórmulas en los comentarios, debéis hacerlo con el editor de fórmulas de nuestra barra de herramientas , pues en caso contrario no las podemos ver.

El sueño de Leibniz (Maquinas matematicas)

Si fuera posible asignar números a las ideas, de forma que a cada una de ellas le correspondiese un número, bastaría con hacer cálculos con estos números para saber qué proposiciones son ciertas y cuales son falsas. Este era, en síntesis, el sueño de Leibniz.

El pensamiento humano se desarrolla en un ámbito misterioso y obedece a leyes que todavía nos son desconocidas. Sin embargo, a lo largo de la historia algunos grandes pensadores han abrigado la creencia de que la aparición de una nueva idea era la combinación de ideas previamente concebidas. Leibniz, siguiendo las sendas que algunos de estos pensadores ya habían iniciado, dedicó muchos esfuerzos a la búsqueda de un Álgebra universal que permitiera objetivar y, hasta cierto punto mecanizar, el trabajo que realiza el cerebro humano [1]
para pensar y dar lugar al nacimiento de nuevas ideas. Era realmente un sueño, pero como dijo Hölderlin en una ocasión, “el hombre cuando sueña es un príncipe y cuando reflexiona un mendigo”. Y qué duda cabe que Leibniz tenía mucho de príncipe.

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Análisis Armónico (Transformada de Fourier)

La periodicidad es una constante en la naturaleza. Los días y las noches, las órbitas de los planetas, los ciclos vitales, casi todo responde a períodos y frecuencias. De ahí que el Análisis Armónico sea crucial para comprender el mundo que nos rodea.

El Análisis Armónico es la rama de las Matemáticas que estudia la representación de una función como superposición de otras más sencillas, en general de carácter sinusoidal. Las ondas en las que la función se descompone reciben el nombre de armónicos, de ahí el nombre de la disciplina. Una disciplina que a lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia con un gran número de aplicaciones en campos tan diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.

Una buena aproximación para comprender la naturaleza del análisis armónico es el estudio de una onda sonora.

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Calculadora de bolsillo

Las calculadoras no enseñan Matemáticas, pero ayudan a comprenderlas mejor. Su uso pedagógico es casi tan indiscutible como su uso práctico, aunque en ambos casos hayan significado un cambio importante en los métodos a utilizar. Vamos a calcular la raíz quinta de 183, es decir . Y lo vamos a hacer por dos métodos diferentes.

Método 1

Llamemos A al resultado de la operación: A = y tomemos logaritmos a ambos lados de esta igualdad:

log A = log

Ahora ponemos el índice de la raíz como exponente fraccionario

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Integrando por partes

El problema que hoy os proponemos es un problema de Integración.

Veamos si lo podéis resolver:

Notemos $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»I«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«msubsup»«mo»$#8747;«/mo»«mn»0«/mn»«mfrac»«mo»$#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msubsup»«mo»$nbsp;«/mo»«msup»«mi»sen«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»$nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»$nbsp;«/mo»«mi»dx«/mi»«/math»$ , «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»$#8712;«/mo»«mo»$#8469;«/mo»«/math» .

Probar, integrando por partes, que $«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»I«/mi»«mi»n«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mi»n«/mi»«/mfrac»«mo»$#183;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msub»«mo»$nbsp;«/mo»«/math»$ si «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»$gt;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» .

¡Ánimo!

Para insertar fórmulas en los comentarios, debéis hacerlo con el editor de fórmulas de nuestra barra de herramientas , pues en caso contrario no las podemos ver.

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Método 1

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