La periodicidad es una constante en la naturaleza. Los días y las noches, las órbitas de los planetas, los ciclos vitales, casi todo responde a períodos y frecuencias. De ahí que el Análisis Armónico sea crucial para comprender el mundo que nos rodea.
El Análisis Armónico es la rama de las Matemáticas que estudia la representación de una función como superposición de otras más sencillas, en general de carácter sinusoidal. Las ondas en las que la función se descompone reciben el nombre de armónicos, de ahí el nombre de la disciplina. Una disciplina que a lo largo de los siglos XIX y XX se ha convertido en una materia con un gran número de aplicaciones en campos tan diversos como el procesamiento de señales, la mecánica cuántica o la neurociencia.
Una buena aproximación para comprender la naturaleza del análisis armónico es el estudio de una onda sonora.
Armónicos
Imaginemos un sonido simple emitido por algún tipo de emisor acústico cuya gráfica, en general, viene representada por una función sinusoidal del tipo y = A·sen(nx).
Por ejemplo:
1. y = sen(x)
Una curva periódica, de período 2p, lo que significa que la onda se repite exactamente cada 2p segundos, período en el cual podemos apreciar una cresta en el punto más alto y un valle en el punto más bajo.
Que el sonido lo escuchemos más fuerte o más flojo depende de la intensidad del mismo, lo que viene reflejado en la amplitud (A) de la onda. Por ejemplo, un sonido con la misma frecuencia que el anterior pero doble amplitud sería el que viene representado por la 2ª ecuación.
2. y = 2sen(x)
Si aumentamos la frecuencia, es decir el valor de n en la ecuación y = sen(nx), el sonido se volverá más agudo.
3. y = sen(3x)
Antes, en el mismo intervalo aparecía una sola cresta, ahora aparecen tres, porque la frecuencia es tres veces más alta. Cuanto mayor sea n, es decir cuanto mayor sea la frecuencia, más agudo percibiremos el sonido.
Vamos ahora a olvidarnos de la intensidad, es decir de la amplitud del sonido, para ocuparnos sólo de la frecuencia. Existe un dispositivo llamado diapasón que sirve para afinar instrumentos. Es metálico y tiene forma de U. Al golpearlo emite un sonido. Concretamente se trata de un La natural que se corresponde con una frecuencia de 440 vibraciones por segundo. Si pulsamos la tecla de un piano que se corresponda con la misma nota también oiremos un sonido de la misma frecuencia, pero con un matiz diferente. Cualquiera, por muy negado que esté para la música, pude distinguir una misma nota emitida por un diapasón, un piano, un cémbalo o una arpa. Todas esas notas tienen la misma frecuencia, pero diferente timbre. Esto es debido a que la cuerda vibra en una caja de resonancia distinta para cada instrumento. Dentro de la caja se produce una onda estacionaria y un efecto de resonancia que conlleva la aparición de pequeñas ondas suplementarias que se suman con la frecuencia fundamental. Estas ondas adicionales reciben el nombre de armónicos y la frecuencia de cada una de ellas es múltiplo de la frecuencia fundamental.
En el siguiente ejemplo (4) vemos las graficas correspondientes a la frecuencia fundamental y cuatro armónicos que se corresponden a los múltiplos 2f, 3f, 4f, y 5f de la frecuencia fundamental f.
4.
La onda resultante será la suma de todas estas ondas, cuyo resultado será una onda distorsionada. Por ejemplo, en la figura 5, la forma de la onda (en rojo) está compuesta por una onda sinusoidal y = sen(x) más una componente armónica y = 1/2sen(3x). La amplitud de los armónicos se expresa generalmente como un cierto tanto por ciento en relación a la onda fundamental (en nuestro ejemplo, un 50 %).
5.
En este contexto hablamos de ondas o funciones sinusoidales. Esto significa que responden a funciones del tipo seno o coseno. En los ejemplos anteriores henos utilizado la función seno, pero esencialmente nada cambia si lo hacemos con la coseno. El mismo ejemplo 5 con la función coseno sería:
6.
Hemos visto pues que la suma de varias frecuencias relacionadas armónicamente da lugar a una onda periódica que tiene una forma más o menos compleja, operación que recibe el nombre de síntesis armónica. Recíprocamente, una onda periódica de forma compleja se puede descomponer en varias vibraciones sinusoidales que estén relacionadas armónicamente, operación que recibe el nombre de análisis armónico.
Desarrollo de Fourier
La posibilidad de descomponer una función en suma de funciones trigonométricas seno y coseno representa una enorme ventaja matemática, ya que se trata de funciones muy manejables que son fácilmente representables con derivadas e integrales sencillas.
Fourier demostró que cualquier función periódica f(x), sometida a ciertas restricciones, podía ser expresada como una suma infinita de funciones trigonométricas seno y coseno en la forma:
Donde los coeficientes representan áreas representadas por las integrales definidas:
Incluso una función que no sea periódica, pero que esté definida dentro de un intervalo finito se puede expresar como:
Fourier y la mayoría de los matemáticos de su tiempo sabían que su desarrollo en serie adolecía de importantes defectos, pero que no sería una teoría que habría de caer en el olvido para que, como ha pasado en más de una ocasión, siglos después alguien la rescatara como una joya en bruto a la que se debía pulir. Ya desde su aparición, fueron muchos los matemáticos importantes que dedicaron gran parte de su tiempo a las series de Fourier y esto fue por dos motivos. Primero porque resultaban de una gran utilidad a astrónomos, físicos e ingenieros, que empezaron a utilizar esa nueva herramienta sin demasiados escrúpulos matemáticos: “lo importante es que funciona, ya se encargarán los matemáticos de ponerle el hilo a la aguja”. Y segundo, y más importante para el análisis matemático, porque con los desarrollos de Fourier había nacido un nuevo concepto de función.
Una función con fisuras
El desarrollo de Fourier planteaba dos cuestiones importantes y de difícil solución, ya que afectaban a los mismos fundamentos del análisis. En primer lugar estaba el problema de la convergencia de la serie. Fourier afirmó textualmente que “las series ordenadas según los cosenos o los senos de los arcos múltiples son siempre convergentes”, pero no dio ninguna demostración concluyente de ello. Habría que esperar hasta 1829, fecha en que Dirichlet publicó un artículo en el que estableció de forma rigurosa la convergencia de una serie de Fourier en los siguientes términos: “Supongamos que una función: 1º, es periódica de período 2p; 2º, no presenta un número infinito de máximos y mínimos; y 3º, si es discontinua en un punto, entonces toma en dicho punto el valor medio de los límites finitos a la izquierda y a la derecha de tal punto. Entonces la serie de Fourier de esta función converge al valor de la función en cada punto”. Por suerte, estas condiciones las cumplen la mayoría de funciones que se utilizan en las aplicaciones prácticas. Un ejemplo de función que no satisface las condiciones de Dirichlet para una serie de Fourier es aquella que toma un valor constante para cada número racional y otro diferente para cada irracional. Esta función se conoce actualmente como Función de Dirichlet y es, por supuesto, imposible de representar.
El otro punto delicado hacía referencia a los coeficientes del desarrollo, que eran áreas que debían ser calculadas mediante integrales definidas. Esto planteaba problemas porque la función a desarrollar podía ser, en principio, muy rara, tanto que cuestionara el mismo concepto de área. La solución progresiva de esta cuestión, que fue llevada a cabo por los trabajos de Cauchy, Riemann y Lebesgue, supuso, al igual que lo había sido el de Dirichlet, un hito en la historia del análisis matemático, ya que a través de nuevas definiciones se introdujeron conceptos de integración y derivación bajo el signo integral que no existían hasta entonces, y sobre todo porque dio lugar a una nueva concepción sobre la teoría de la medida.
Wavelets
Las wavelets son un tipo especial de funciones que, teniendo un campo de aplicaciones similar al de las series de Fourier, superan a las propiedades de éstas en muchos aspectos. Se pueden definir como “funciones definidas en intervalos finitos que tienen un valor promedio cero” (Subhasis Saha).
Un ejemplo sería la función y definida en el intervalo cerrado [0, 1] como:
Que tiene claramente un valor promedio cero.
En algunos textos castellanos se utiliza como traducción la palabra ondeleta (ondelette en francés), pero es muy habitual el uso del término en inglés[1]. Recientemente las wavelets han adquirido una gran popularidad en medios científicos debido a sus múltiples aplicaciones, en campos tan diversos como la dinámica molecular, la astrofísica, los seísmos, la óptica, el estudio de las turbulencias y la mecánica cuántica. Así como en otros campos de disciplinas muy diferentes como el proceso de imágenes, los análisis de sangre, el análisis de electrocardiogramas, el estudio del ADN, el análisis de proteínas, la meteorología, el procesamiento de señales en general, el reconocimiento de voz, los gráficos por ordenador o el análisis multifractal.
Sus orígenes, sin embargo, los podríamos datar en un trabajo que Weierstrass publicó en 1873, en el que describía una familia de funciones construidas a base de superponer copias escalonadas que partían todas ellas de una función base dada. Fue así como consiguió definir una función que era continua en todos sus puntos, pero que no era diferenciable en ninguno. La siguiente aportación importante apareció en 1909 de la mano de Alfred Haar que fue el primero en describir un sistema ortonormal de funciones con soporte compacto que constituía una base para desarrollar un sistema de wavelets. Esta base, conocida como base de Haar, es la que se utiliza actualmente en las modernas teorías de wavelets.
Las wavelets se definen por medio de una o varias funciones iniciales, llamadas wavelets madre, y un algoritmo que permita obtener las restantes funciones que conformarán la base a partir de las funciones madre (en algunos textos a dicho algoritmo se le denomina wavelet padre). De forma similar a como se hace en el análisis de Fourier, la base de funciones wavelets se pueden aplicar a la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, a diferentes problemas de física y especialmente al procesamiento de señales y gráficas computarizadas.
Una de las aplicaciones técnicas que más difusión han alcanzado las wavelets es la relacionada con la compresión de imágenes y que se basa en la posibilidad de aproximar mediante wavelets una función definida en el intervalo [0, 1], de la que sólo se posee una muestra finita de los valores que dicha función toma a lo largo del intervalo.
[1] El término wavelet proviene del campo de la sismología y fue acuñado por Ricker en 1940 para describir la cadena de efectos producidos por un impulso sísmico agudo o una carga explosiva.
